Pola Bilangan

 Hallo semua., di kesempatan ini kita akan belajar terkait pola bilangan. Sebelum itu, kita perhatikan pola bentuk segitiga berikut.

Pola di atas menunjukan pola segitiga Sierpinski. Pada bentuk pertama, terdapat sebuah segitiga sama sisi yang utuh. Pada bentuk kedua segitiga terdapat dibagi menjadi 4 segitiga yang sama. Pada bentuk ketiga, segitiga bagian dalam tetap dan setiap segitiga di tepi dianggap sebagai segitiga baru yang dibagi menjadi 4 segitiga yang sama, dan seterusnya.

Dari pola segitiga Sierpinski tersebut, kita bisa membuat suatu pola bilangan. Katakanlah pola bilangan yang kita buat merupakan banyak segitiga yang terbentuk. Jadi, pola bilangan tersebut adalah sebagai berikut.

Bentuk ke-	1	2	3	4	5	6
Banyak segitiga	1	4	13	40	?	?

Bisakah kalian menghitung banyaknya segitiga pada bentuk ke-5 dan ke-6?

Ya. benar sekali kalian dapat melihatnya bahwa banyak segitiga ke-n dapat dihitung sebagai 1 ditambah 3 kali banyak segitiga ke-(n-1). Jadi banyak segitiga ke-5 adalah $1+3\times 40=1+120=121$ dan banyak segitiga ke-6 adalah $1+3\times 121=1+363=364$. Dengan demikian kita bisa simpulkan bahwa pola bilangan tersebut adalah $U_n=1+3n$.

Contoh lainnya pola bilangan yang dikenal yakni pola bilangan Fibonacci. Pola bilangan Fibonacci adalah sebagai berikut. Yaitu bilangan pertama dan kedua adalah 1 sedangkan bilangan selanjutnya merupakan hasil dari penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Jadi pola bilangan Fibonacci adalah 1,1,2,3,5,8,13,21,dst. 

Selain pola bilangan yang disebutkan di atas, terdapat pola bilangan lainnya, di ataranya sebagai berikut.

1. Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, dst. Pada pola bilangan ganjil, setiap suku berikutnya selalu ditambah dua dengan suku pertamanya adalah 1.

2. Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, dst. Pada pola bilangan genap, setiap suku berikutnya selalu ditambah dua dengan suku pertamanya adalah 2.

3. Pola bilangan kuadrat : 1, 4, 9, 16, 25, dst. Pada pola bilangan kuadrat, setiap suku berikutnya merupakan hasil kuadrat dari bilangan asli.

4. Pola segitiga pascal : 2, 4, 8, 16, 32, dst. Rumus dari pola tersebut adalah $2^n$.

Nama lain pola bilangan adalah barisan bilangan. Oleh karena itu, urutan bilangan pada pola bilangan sangat diperhatikan layaknya suatu barisan. Sebagai contoh pada pola bilangan kuadrat yaitu 1, 4, 9, 16, 25, dst. Kita sebut suku pertama barisan tersebut adalah 1; suku ke-2 barisan tersebut adalah 4, dan seterusnya. Tidak bolah kita mengatakan bahwa 4 atau 9 atau 16 merupakan suku pertama dari barisan tersebut. 

Soal latihan.

1. Diketahui barisan $3, 9, 15, 21, 27, \cdots $. Lanjutkan pola bilangan tersebut sampai $5$ suku berikutnya.

2. Diketahui barisan $12, 9, -6, 3, 0, -3, \cdots $. Lanjutkan pola bilangan tersebut sampai $5$ suku berikutnya.

3. Diketahui barisan $7, 4, 1, -2, \cdots $. Lanjutkan pola bilangan tersebut sampai $5$ suku berikutnya.

4. Diketahui barisan $-2, -8, -18, -32, \cdots $. Lanjutkan pola bilangan tersebut sampai $5$ suku berikutnya.

5. Diketahui barisan $1, -2, -9, -20, \cdots $. Lanjutkan pola bilangan tersebut sampai $5$ suku berikutnya.

Pembahasan.

1. Setiap suku selalu bertambah 6. Oleh karena itu, $5$ suku berikutnya adalah $33, 39, 45, 51, 57$

2. Setiap suku selalu berkurang 3. Oleh karena itu, $5$ suku berikutnya adalah $-6, -9, -12, -15, -18$

3. Setiap suku selalu berkurang 3. Oleh karena itu, $5$ suku berikutnya adalah $-5, -8, -11, -14, -17$

4. Dari suku pertama ke suku kedua berkurang 6, dari suku kedua ke suku ketiga berkurang 10, dari suku ketiga ke suku keempat berkurang 14. Sekarang perhatikan bahwa $6, 10, 14$ membentuk pola yang selalu ditambah $4$ maka suku setelahnya adalah $18, 22, 26, 30, 34$. Jadi $5$ suku berikutnya pada soal tersebut dapat kita peroleh sebagai berikut. $-32-18=-50$; $-50-22=-72$; $-72-26=-98$; $-98-30=-128$; $-128-34=-162$.

5. Dari suku pertama ke suku kedua berkurang 3, dari suku kedua ke suku ketiga berkurang 7, dari suku ketiga ke suku keempat berkurang 11. Sekarang perhatikan bahwa $3, 7, 11$ membentuk pola yang selalu ditambah $4$ maka suku setelahnya adalah $15, 19, 23, 27, 31$. Jadi $5$ suku berikutnya pada soal tersebut dapat kita peroleh sebagai berikut. $-20-15=-35$; $-35-19=-54$; $-54-23=-77$; $-77-27=-104$; $-104-31=-135$.