Pembahasan soal UTS Teori Bilangan Elementer 2024

Hallo semuanya kali ini saya akan membahas sedikit terkait soal uts teori bilangan elementer 2024. Silakan disimak dengan seksama.

1. Buktikan bahwa jika $p, q, r\in\mathbb{Z}$ , $p|(q^2+r)$ , dan $p|q$ , maka $p|r$ .

2. Tambahkan $(101111011)_2$ dan $(1AB)_{16}$ , dan tuliskan hasilnya dalam bentuk desimal.

3. Tentukan nilai dari $x$ dan $y$ jika $8517x+2669y=(8517,2669)$ dengan $x,y\in\mathbb{Z}$ .

4. Periksa apakah pernyataan berikut benar atau salah, jelaskan secara singkat :

a. Bilangan $1.000.08k$ (satu juta delapan puluh k) habis dibagi $9$ , jadi satu-satunya nilai $k$ yang memenuhi adalah $9$ .

b. Terdapat bilangan prima yang lebih dari $2$ yang bisa dinyatakan dalam bentuk $n^3+1$ dengan $n\in\mathbb{N}$ .

c. Jika $n\in\mathbb{N}$ dan $(2,n)=2$ , maka $[2,n]=n$ .

Jawab :

1. Karena $p|(q^2+r)$ maka ada bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $q^2+r=kp$ . Karena $p|q$ maka ada bilangan bulat $l$ sedemikian sehingga $q=pl$ . Dari sini kita punya $(pl)^2+r=kp$ atau $r=kp-p^2l^2=p(k-pl^2)$ . Jadi $r$ kelipatan $p$ , dengan kata lain $p|r$ .

2. Untuk mengubah basis 2 ke desimal $(101111011)_2$ adalah $2^0+2^1+2^3+2^4+2^5+2^6+2^8=379$

Untuk mengubah basis 16 ke desimal $(1AB)_{16}$ adalah $11\times 16^0+10\times 16^1+1\times 16^2=427$ .

Jadi, hasil penjumlahan keduanya adalah $806$

3. Kita gunakan Algoritma Euclid untuk mendapatkan nilai $(8517,2669)$ .

$8517=3\times 2669 +510$

Baca Juga

$2669=5\times 510+119$

$510=4\times 119+34$

$119=3\times 34+17$

$34=2\times 17$

Jadi $(8517,2669)=17$ . Dari sini kita peroleh bahwa

$17=119-3\times 34$

$17=119-3\times (510-4\times 119)$

$17=13\times 119-3\times 510$

$17=13\times (2669-5\times 510)-3\times 510$

$17=13\times 2669-68\times 510$

$17=13\times 2669-68\times (8517-3\times 2669)$

$17=217\times 2669-68\times 8517$

Jadi, bisa kita lihat dari hasil akhir pekerjaan kita bahwa nilai $x$ adalah $-68$ dan nilai $y$ adalag $217$ .

4. a. Salah, karena $k=0$ juga memenuhi kondisi tersebut.

b. Salah. Karena $n^3+1$ mengandung faktor $n+1$ dan $n^2-n+1$ . Jelas $n\geq 1$ . Artinya $n+1\neq 1$ jadi haruslah $n^2-n+1=1$ yang menyebabkan $n=0$ atau $n=1$ . Jadi satu-satunya bilangan prima yang bisa dinyatakan dalambentuk $n^3+1$ hanyalah $2$ .