Pembahasan soal UTS Teori Bilangan Elementer 2024

Pembahasan soal UTS Teori Bilangan Elementer 2024

Hallo semuanya kali ini saya akan membahas sedikit terkait soal uts teori bilangan elementer 2024. Silakan disimak dengan seksama.

 1. Buktikan bahwa jika $p, q, r\in\mathbb{Z}$, $p|(q^2+r)$, dan $p|q$, maka $p|r$.

2. Tambahkan $(101111011)_2$ dan $(1AB)_{16}$, dan tuliskan hasilnya dalam bentuk desimal.

3. Tentukan nilai dari $x$ dan $y$ jika $8517x+2669y=(8517,2669)$ dengan $x,y\in\mathbb{Z}$.

4. Periksa apakah pernyataan berikut benar atau salah, jelaskan secara singkat :

   a. Bilangan $1.000.08k$ (satu juta delapan puluh k) habis dibagi $9$, jadi satu-satunya nilai $k$ yang memenuhi adalah $9$.

   b. Terdapat bilangan prima yang lebih dari $2$  yang bisa dinyatakan dalam bentuk $n^3+1$ dengan $n\in\mathbb{N}$.

   c. Jika $n\in\mathbb{N}$ dan $(2,n)=2$, maka $[2,n]=n$.

Jawab :

1. Karena $p|(q^2+r)$ maka ada bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $q^2+r=kp$. Karena $p|q$ maka ada bilangan bulat $l$ sedemikian sehingga $q=pl$. Dari sini kita punya $(pl)^2+r=kp$ atau $r=kp-p^2l^2=p(k-pl^2)$. Jadi $r$ kelipatan $p$, dengan kata lain $p|r$.

2. Untuk mengubah basis 2 ke desimal $(101111011)_2$ adalah $2^0+2^1+2^3+2^4+2^5+2^6+2^8=379$

Untuk mengubah basis 16 ke desimal $(1AB)_{16}$ adalah $11\times 16^0+10\times 16^1+1\times 16^2=427$.

Jadi, hasil penjumlahan keduanya adalah $806$

3. Kita gunakan Algoritma Euclid untuk mendapatkan nilai $(8517,2669)$.

$8517=3\times 2669 +510$

$2669=5\times 510+119$

$510=4\times 119+34$

$119=3\times 34+17$

$34=2\times 17$

Jadi $(8517,2669)=17$. Dari sini kita peroleh bahwa

$17=119-3\times 34$

$17=119-3\times (510-4\times 119)$

$17=13\times 119-3\times 510$

$17=13\times (2669-5\times 510)-3\times 510$

$17=13\times 2669-68\times 510$

$17=13\times 2669-68\times (8517-3\times 2669)$

$17=217\times 2669-68\times 8517$

Jadi, bisa kita lihat dari hasil akhir pekerjaan kita bahwa nilai $x$ adalah $-68$ dan nilai $y$ adalag $217$.

4. a. Salah, karena $k=0$ juga memenuhi kondisi tersebut.

b. Salah. Karena $n^3+1$ mengandung faktor $n+1$ dan $n^2-n+1$. Jelas $n\geq 1$. Artinya $n+1\neq 1$ jadi haruslah $n^2-n+1=1$ yang menyebabkan $n=0$ atau $n=1$. Jadi satu-satunya bilangan prima yang bisa dinyatakan dalambentuk $n^3+1$ hanyalah $2$.

c. Benar. Karena $(2,n)=2$ maka $2|n$ artinya $[2,n]=n$. 

Oke, demikian pembahasan soal UTS yang saya sajikan. Dan sampai jumpa kembali di pembahasan soal selanjutnya