Pembahasan soal pembinaan Olimpiade Matematika (OSK) SMA Tahun 2023 materi Polinomial

Hallo semuanya... Selamat datang di blog saya.

Di postinganku kali ini akan membahas soal pembinaan OSK Matematika SMA Tahun 2023 terkait materi polinomial. Karena mengingat sebentar lagi akan diadakan OSK 2023. Jadi, buat kalian yang ikutan jangan lupa belajar ya. Okedeh langsung saja ke pembahasannya. Sebelumnya terdapat pembetulan soal pada soal no 15 dan 16 dari soal aslinya.

1. Koefisien $x^9$ dari penjabaran

\begin{align*}(1+x)(2+x^2)(3+x^3)(4+x^4)(5+x^5)\end{align*}

adalah...

Jawab : Cukup kita tinjau ekspresi yang menghasilkan $x^9$. Karena $9=4+5$, $9=1+3+5$, dan juga $9=2+3+4$. Sehingga bentuk $x^9$ dari penjabaran tersebut dapat diperoleh dari hasil perkalian berikut.

\begin{align*}(1)(2)(3)(x^4)(x^5)=6x^9\end{align*}

\begin{align*}(x)(2)(x^3)(4)(x^5)=8x^9\end{align*}

\begin{align*}(1)(x^2)(x^3)(x^4)(5)=5x^9\end{align*}

Jadi, koefisien $x^9$ dari hasil penjabaran tersebut adalah $6+8+5=19$

2. Diketahui polinom $p(x)=6x^3-ax^2+2x-10$ dan $q(x)=bx^3-x+c$. Jika $p(x)=-2q(x)$, maka nilai dari $a+b+c$ adalah...

Jawab : Karena $p(x)=-2q(x)$ maka didapat

\begin{align*}6x^3-ax^2+2x-10&=-2(bx^3-x+c)\\ 6x^3-ax^2+2x-10&=-2bx^3+2x-2c\end{align*}

Didapat $6=-2b$, $-a=0$, dan $-10=-2c$. Sehingga nilai $a+b+c=0+(-3)+5=2$ 

3. Jika $f(x)$ dibagi oleh $2x-3$ bersisa $20$, sedangkan jika dibagi $x+4$ bersisa $12$. Jika $f(x)$ dibagi oleh $2x^2+5x-12$ sisanya adalah... 

Jawab : Menurut teorema sisa $f(\frac{3}{2})=20$ dan $f(-4)=12$. Misalkan sisa pembagian $f(x)$ oleh $2x^2+5x-12$ adalah $ax+b$ maka dapat ditulis

\begin{align*}f(x)&=h(x)(2x^2+5x-12)+ax+b\end{align*}

\begin{align*}f(x)&=h(x)(2x-3)(x+4)+ax+b\end{align*}

Kita punya persamaan berikut

\begin{align*}f\left(\frac{3}{2}\right)&=h\left(\frac{3}{2}\right)\left(2\left(\frac{3}{2}\right)-3\right)\left(\frac{3}{2}+4\right)+a\left(\frac{3}{2}\right)+b\end{align*}

\begin{align*}20&=\frac{3}{2}a+b...............(*)\end{align*}

dan

\begin{align*}f\left(-4\right)&=h\left(-4\right)\left(2\left(-4\right)-3\right)\left(-4+4\right)+a\left(-4\right)+b\end{align*}

\begin{align*}12&=-4a+b...............(**)\end{align*}

Eliminasi persamaan (*) dengan (**) diperoleh $8=\frac{11}{2}a$ atau $a=\frac{16}{11}$. Sehingga dari salah satu persamaan didapatkan pula $b=12+4a=12+\frac{64}{11}=\frac{196}{11}$. Jadi sisa pembagian $f(x)$ oleh $2x^2+5x-12$ adalah $\frac{16}{11}x+\frac{196}{11}$

4. Jika sisa pembagian

\begin{align*}x^{2023}+x^{1011}+x^{506}+x^{253}+x^{121}\end{align*}

oleh $x^2-1$ adalah $Ax+B$, maka nilai dari $7A-3B$ adalah...

Jawab : Perhatikan bahwa $x^2-1=(x+1)(x-1)$ sehingga menurut teorema sisa $(-1)^{2023}+(-1)^{1011}+(-1)^{506}+(-1)^{253}+(-1)^{121}=-A+B$ dan $1^{2023}+1^{1011}+1^{506}+1^{253}+1^{121}=A+B$. 

Kita punya persamaan berikut

\begin{align*}-A+B=-3\end{align*}

\begin{align*}A+B=5\end{align*}

Jumlahkan kedua persamaan diperoleh $2B=2$ atau $B=1$, sehingga didapat $A=5-B=5-1=4$.

Jadi nilai $7A-3B$ adalah $7(4)-3(1)=28-3=25$

5. Diketahui $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor polinomial $x^3+ax^2-13x+b$. Jika $x_1$, $x_2$, dan $x_3$ adalah akar-akar polinomial tersebut, maka nilai dari $x_1x_2x_3=...$

Jawab : Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor polinomial $x^3+ax^2-13x+b$ maka 

\begin{align*}2^3+a.2^2-13.2+b&=0\\ 8+4a-26+b&=0\\ 4a+b&=18\end{align*}

dan

\begin{align*}1^3+a.1^2-13.1+b&=0\\ 1+a-13+b&=0\\ a+b&=12\end{align*}

Eliminasi kedua persamaan diperoleh $3a=6$ atau $a=2$. Didapat $b=12-a=12-2=10$. Sehingga polinomial diatas dapat ditulis ulang menjadi $x^3+2x^2-13x+10$ Menurut teorema vieta dalam kasus ini $x_1x_2x_3=-\frac{10}{1}=-10$

6. Jika $h(x)$ dibagi $x^2-4$ dan $x^2+2x$ berturut turut akan bersisa $3x-1$ dan $x+5$, jika $h(x)$ dibagi $x^2-2x$ sisanya adalah... 

Jawab : Perhatikan bahwa $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^+2x=x(x+2)$, dan $x^2-2x=x(x-2)$. Menurut teorema sisa kita punya $h(2)=3.2-1=5$ dan $h(0)=0+5=5$. Misalkan sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2-2x$ adalah $ax+b$ maka dapat ditulis

\begin{align*}h(x)&=t(x)(x^2-2x)+ax+b\\ h(x)&=t(x)(x)(x-2)+ax+b\end{align*}

Kita punya persamaan berikut

\begin{align*}h(2)&=t(2)(2)(2-2)+a.2+b\\ 5&=2a+b\end{align*}

dan

\begin{align*}h(0)&=t(0)(0)(0-2)+a.0+b\\ 5&=b\end{align*}

Dari persamaan terakhir diperoleh $b=5$ sehingga $2a=5-b=5-5=0$ atau $a=0$. Jadi sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2-2x$ adalah $5$

7. Polinom $p(x)$ dibagi $(x-1)$ sisanya $3$ dan dibagi $(x+3)$ sisanya $8$. Sedangkan polinom $q(x)$ jika dibagi $(x-1)$ akan bersisa $-2$ dan jika dibagi $(x+3)$ akan bersisa $6$. Diketahui $r(x)=p(x).q(x)$. Jika $r(x)$ dibagi $x^2+2x-3$ maka sisanya adalah...

Jawab : Menurut teorema sisa kita punya $p(1)=3$, $p(-3)=8$, $q(1)=-2$. dan $q(-3)=6$. Jadi, kita peroleh $r(1)=p(1).q(1)=3.(-2)=-6$ dan $r(-3)=p(-3).q(-3)=8.6=48$. Perhatikan bahwa $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. Misalkan sisa pembagian $r(x)$ oleh $x^2+2x-3$ adalah $ax+b$ maka dapat ditulis

\begin{align*}r(x)&=v(x)(x^2+2x-3)+ax+b\\ r(x)&=v(x)(x-1)(x+3)+ax+b\end{align*}

Kita punya persamaan berikut

\begin{align*}r(1)&=v(1)(1-1)(1+3)+a.1+b\\ -6&=a+b\end{align*}

dan

\begin{align*}r(-3)&=v(-3)(-3-1)(-3+3)+a(-3)+b\\ 48&=-3a+b\end{align*}

Eliminasi kedua persamaan diperoleh $4a=-54$ atau $a=\frac{-54}{4}=-\frac{27}{2}$ kemudian $b=-6-a=-6-\left(-\frac{27}{2}\right)=\frac{15}{2}$. Jadi sisa pembagian $r(x)$ oleh $x^2+2x-3$ adalah $-\frac{27}{2}x+\frac{15}{2}$

8. Jika salah satu akar persamaan $x^3+px^2+3x-6=0$ adalah $2$, maka jumlah dua akar yang lainnya adalah...

Jawab : Karena $2$ merupakan akar persamaan $x^3+px^2+3x-6=0$ maka $2^3+p.2^2+3.2-6=0$ ekivalen dengan $4p=-8$ atau $p=-2$. Persamaan dapat ditulis ulang menjadi $x^3-2x^2+3x-6=0$. Tanpa mengurangi keumuman misalkan $x_1, x_2, x_3$ adalah akar-akar persamaan tersebut dimana $x_1=2$. Menurut teorema vieta $x_1+x_2+x_3=-\frac{-2}{1}=2$, karena $x_1=2$ maka $x_2+x_3=0$. Dengan kata lain, jumlah dua akar yang lainnya adalah $0$

9. Jika $x^3+x^2-5x+6=0$ mempunyai akar-akar $x_1$, $x_2$ dan $x_3$. Maka nilai $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ adalah...

Jawab : Perhatikan bahwa $x_1^2+x_2^2+x_3^2=($x_1+x_2+x_3$)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$. Menurut teorema vieta $x_1+x_2+x_3=-\frac{1}{1}=-1$ dan $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{-5}{1}=-5$. Jadi nilai \begin{align*}x_1^2+x_2^2+x_3^2&=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)\\ &=(-1)^2-2(-5)\\ &=1+10\\ &=11\end{align*}

10. Jika ketiga akar persamaan $2x^3+ax^2+bx-364=0$ merupakan bilangan prima, maka nilai dari $a+b$ adalah...

Jawab : Misalkan $x_1, x_2, x_3$ adalah akar-akar persamaan tersebut dimana $x_1,x_2,x_3$ ketiganya prima. Menurut teorema vieta $x_1x_2x_3=-\frac{-364}{2}=182=2.7.13$.

Karena $x_1, x_2, x_3$ ketiganya prima dapat disimpulkan bahwa $x_1=2$, $x_2=7$, dan $x_3=13$.

Oleh karena itu, menurut teorema vieta juga $x_1+x_2+x_3=-\frac{a}{2}=22$ dan $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{b}{2}=131$. Diperoleh $a=-44$ dan $b=262$.

11. Polinomial $P(x)=x^3-x^2+x-2$ mempunyai tiga pembuat nol yaitu $a$, $b$, dan $c$. Nilai dari $a^3+b^3+c^3$ adalah...

Jawab : Karena $a$, $b$, dan $c$ adalah pembuat nol dari $P(x)$ maka $P(a)=P(b)=P(c)=0$.

\begin{align*}a^3-a^2+a-2&=0\\ b^3-b^2+b-2&=0\\ c^3-c^2+c-2&=0\end{align*}

Jumlahkan ketiga persamaan didapat

\begin{align*}a^3-a^2+a+b^3-b^2+b+c^3-c^2+c-8=0\\ a^3+b^3+c^3=a^2+b^2+c^2-a-b-c+8\end{align*}

Karena $a$, $b$, dan $c$ adalah pembuat nol dari $P(x)$ maka $a$, $b$, dan $c$ adalah akar-akar dari $P(x)$. Sehingga menurut teorema vieta didapat $a+b+c=-\frac{-1}{1}=1$ dan $ab+bc+ac=\frac{1}{1}=1$. Jadi

\begin{align*}&a^3+b^3+c^3\\ &=a^2+b^2+c^2-a-b-c+8\\ &=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)-(a+b+c)+8\\ &=1^2-2.1-1+8\\ &=6\end{align*}

12. Diberikan suatu polinom $h(x)$ berderajat $3$ dengan $h(-2)=2$, $h(-1)=0$, $h(0)=2$ dan $h(1)=3$. Maka nilai dari $h(2)$ adalah...

Jawab : Karena $h(x)$ suatu polinom berderajat $3$ dapat dimisalkan bahwa $h(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Dari informasi soal kita peroleh bahwa

\begin{align*}a.(-2)^3+b.(-2)^2+c(-2)+d &=2\\ a.(-1)^3+b.(-1)^2+c(-1)+d &=0\\ a.(0)^3+b.(0)^2+c(0)+d &=2\\ a.(1)^3+b.(1)^2+c(1)+d &=3\end{align*}

Dari persamaan yang ketiga diperoleh nilai $d=2$. Maka ketiga persamaan lainnya menjadi

\begin{align*}-8a+4b+-2c &=0\\ -a+b-c &=-2\\ a+b+c &=1\end{align*}

Jumlahkan dua persamaan terakhir diperoleh $2b=-1$ atau $b=-\frac{1}{2}$. Substitusi nilai ini ke persamaan didapat

\begin{align*}-8a-2c &=2\\ a+c &=\frac{3}{2}\end{align*}

Persamaan terakhir dikali dua kemudian jumlahkan pada persamaan sebelumnya diperoleh $-6a=5$ atau $a=-\frac{5}{6}$. Kemudian $c=\frac{3}{2}-a=\frac{3}{2}+\frac{5}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$. Jadi, nilai dari $h(2)$ adalah \begin{align*}8a+4b+2c+d&=8\left(-\frac{5}{6}\right)+4\left(-\frac{1}{2}\right)+2\left(\frac{7}{3}\right)+2\\ &=-\frac{20}{3}-2+\frac{14}{3}+2\\ &=-2\end{align*}

13. Jika $(x+1)^2$ membagi $ax^4+bx^3+1$, maka $ab=...$

Jawab : Perhatikan bahwa $ax^4+bx^3+1$ dapat kita tulis sebagai $(ax^2+(b-2a)x+3a-2b)(x+1)^2+(3b-4a)x+1-3a+2b$. Sehingga sisa pembagiannya adalah $(3b-4a)x+1-3a+2b$. Oleh karena itu kita dapatkan 

\begin{align*}3b-4a&=0\\b&=\frac{4a}{3}\end{align*}

dan

\begin{align*}1-3a+2b&=0\\ 1-3a+2\left(\frac{4a}{3}\right)&=0\\ 1-\frac{a}{3}&=0\\ a&=3\end{align*}

Jadi, nilai $ab=a\left(\frac{4a}{3}\right)=3\left(\frac{4.3}{3}\right)=12$

14. Jika akar-akar persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ membentuk barisan aritmetika dengan beda $2$. Maka nilai dari $-a+b-c=...$

Jawab : Misalkan akar-akar persamaan $x^4-8x^3+ax^2-bx+c=0$ adalah $m-2, m, m+2, m+4$. Menurut teorema vieta didapat $(m-2)+m+(m+2)+(m+4)=4m+4=-\frac{-8}{1}=8$ atau $m=1$. Oleh karena itu akar-akarnya adalah $-1$, $1$, $3$, dan $5$. Menurut teorema vieta

\begin{align*}a&=-1.1+(-1).3+(-1).5+1.3+1.5+3.5\\ &=14\\ b&=-1.1.3+(-1).1.5+(-1).3.5+1.3.5\\ &=-8\\ c&=-1.1.3.5\\ &=-15\end{align*}

Jadi nilai dari $-a+b-c=-14+(-8)-(-15)=-7$

15. Diketahui polinomial monik berderajat enam $P(x)$ dengan $P(0)=0$, $P(1)=1$, $P(2)=2$, $P(3)=3$, $P(4)=4$, dan $P(5)=5$. Nilai dari $P(6)$ adalah...

Jawab : Misalkan suatu polinomial $Q(x)=P(x)-x$. Perhatikan bahwa $Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=Q(5)=0$. Sehingga berdasarkan teorema faktor $x, (x-1), (x-2), (x-3), (x-4), (x-5)$ adalah faktor dari $Q(x)$, karena $P(x)$ berderajat 6 dan monik maka $Q(x)$ berderajat 6 dan monik juga. Sehingga $Q(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$. Dan $P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x$. Nilai dari

\begin{align*}P(6)&=6(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)+6\\ &=6!+6\\ &=720+6\\ &=726\end{align*}

(catatan : polinomial monik adalah polinomial yang koefisien dari pangkat tertingginya adalah 1)

16. Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan-bilangan real berbeda yang memenuhi

\begin{align*}\begin{cases}a^3&=3(b^2+c^2)-25\\ b^3&=3(a^2+c^2)-25\\ c^3&=3(a^2+b^2)-25\end{cases}\end{align*}

 Maka nilai dari $8abc=...$

Jawab : Terdapat pembetulan pada soal.

Misalkan $a^2+b^2+c^2=k$ maka

\begin{align*}\begin{cases}a^3&=3(k-a^2)-25\\ b^3&=3(k-b^2)-25\\ c^3&=3(k-c^2)-25\end{cases}\end{align*}

atau

\begin{align*}\begin{cases}a^3+3a^2-3k+25&=0\\ b^3+3b^2-3k+25&=0\\ c^3+3c^2-3k+25&=0\end{cases}\end{align*}

Misalkan polinomial $P(x)=x^3+3x^2-3k+25$. Perhatikan bahwa $P(a)=P(b)=P(c)=0$, jadi $a,b,c$ adalah akar-akar dari $P(x)$. Berdasarkan teorema vieta kita peroleh bahwa

\begin{align*}a+b+c=-\frac{3}{1}=-3\\ ab+bc+ac=\frac{0}{1}=0\\ abc=-\frac{-3k+25}{1}=3k-25\end{align*}

Kemudian kita tahu bahwa

\begin{align*}(a+b+c)^2&=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)\\ (-3)^2&=k+2(0)\\ k&=9\end{align*}

Jadi, nilai $8abc=8(3.9-25)=8(2)=16$