Konsep Grup Siklik Dalam Aljabar Abstrak

Oke pada postingan kali ini kita akan membahas tentang grup siklik.

Pandang $(G,*)$ suatu grup. Didefinisikan suatu himpunan, dimana anggota-anggotanya merupakan perpangkatan dari suatu elemen di $G$ sebagai berikut:

$\left< a\right> =\{a^n : n\in \mathbb{Z}\}$

Note : $a^n=\underset{n \text{kali}}{a*a*\cdots *a}$

Grup $G=\left< a\right>$ disebut sebagai Grup siklik (Cyclic group) yang dibangun oleh suatu $a\in G$ dan selanjutnya cukup ditulis $\left< a\right>$.

$a$ disebut elemen pembangun atau generator dari $G$.

Contoh :

Grup $(2\mathbb{Z},+)$ merupakan grup siklik dengan unsur pembangunnya adalah $2$ dan $-2$. Karena setiap unsur di $2\mathbb{Z}$ dapat dibangun oleh $2$ dan $-2$ seperti berikut.

$2\mathbb{Z}=\{\cdots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\cdots \}$

$2^0=0$ yaitu elemen identitas

$2^1=2$

$2^2=2+2=4$

$2^3=2+2+2=6$

dst

$2^{-1}=-2$ invers dari $2$

$2^{-2}=-4$ invers dari $4$

dst

Jadi, gimana udah ada sedikit gambaran kan ya....

Teorema

Jika $(G,*)$ adalah Grup dan $a\in G$, maka $\left< a \right>$ adalah subgrup dari $G$

Bukti : diserahkan ke pembaca

Jadi, maksud dari teorema ini gimana? Jadi begini misal biar tidak banyak untuk kasus grup yang tadi yaitu $(2\mathbb{Z},+)$ nah kan $4\in 2\mathbb{Z}$ maka $\left< 4\right>=\{\cdots ,-8,-4,0,4,8,\cdots \}$ itu adalah subgrup dari $2\mathbb{Z}$. 

Lema

Setiap grup siklik adalah komutatif. Tetapi tidak untuk sebaliknya.

Bukti :

Diberikan suatu grup siklik $(G,*)$ dan elemen pembangunnya adalah $a$. Ambil sebarang $x,y\in G$. Akan ditunjukkan bahwa $x*y=y*x$. Karena disini $a$ merupakan unsur pembangun maka dapat dinyatakan $x=a^m$ dan $y=a^n$ untuk suatu $m,n\in \mathbb{Z}$. Perhatikan bahwa

$x*y=a^m *a^n =a^{m+n}=a^{n+m}=a^n * a^m=y*x$

Untuk bukti sebaliknya silakan cari counter examplenya dimana grup tersebut adalah komutatif tapi tidak siklik.