Bahas Dua Soal ON-Mipa PT Matematika Tingkat Nasional Tahun 2022

 Sebelumnya postingan ini hanya sebuah keisengan saja,, mengingat sudah lama tidak posting sesuatu di blog ini jadi saya coba posting lagi. Jadi, dalam postingan ini saya akan membahas soal ON-Mipa PT Tingkat Nasional Tahun 2022. 

Namun soal yang saya bahas hanya dua soal saja yaitu soal yang saya agak ingat, soal disini mungkin secara kalimat tidak sama persis. Tapi, insyaallah secara makna sama. Berikut soalnya.

1. Diberikan fungsi kompleks $f(z)=1+c_1z+c_2z^2+\cdots +c_kz^k$ dengan $|c_n|<1945$ untuk setiap $1\leq n\leq k$. Buktikan bahwa $f$ tidak punya akar dengan sifat $|z|<\frac{1}{2022}$

2. Untuk $m> n$ dan $m,n\in \mathbb{N}$. Tunjukkan bahwa $\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 1 & P^{m+2}_{1} & \cdots & P^{m+2}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & P^{m+n}_{1} & \cdots & P^{m+n}_{n}\end{vmatrix}=1!.2!.3!.\cdots .n!$

Dengan $P^n_k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Jawab :

1. Kita akan menggunakan bukti kontradiksi. Andaikan bahwa $f$ punya akar dengan sifat $|z|<\frac{1}{2022}$. Hal ini berarti $1+c_1z+c_2z^2+\cdots +c_kz^k=0$ mempunyai selesaian. Karena $z=0$ jelas bukan solusi, maka pernyataan ini ekivalen dengan $c_1+c_2z+\cdots +c_kz^{k-1}=-\frac{1}{z}$ mempunyai solusi. Kemudian perhatikan bahwa dengan ketaksamaan Cauchy Schwartz dan sifat modulus diperoleh $\begin{align*}|c_1+c_2z+\cdots +c_kz^{k-1}|&\leq |c_1|+|c_2||z|+\cdots |c_k||z^{k-1}|\\ &<1945+\frac{1945}{2022}+\cdots +\frac{1945}{2022^{k-1}}\\ &<\frac{1945}{1-\frac{1}{2022}}\\ &=\frac{1945}{2021}\times 2022\\ &<2022\end{align*}$.

Dilain sisi $|c_1+c_2z+\cdots +c_kz^{k-1}|=|-\frac{1}{z}|>2022$. Maka terjadi suatu kontradiksi. Jadi, pengandaian kita salah. Oleh karena itu, terbukti bahwa $f$ tidak punya akar dengan sifat $|z|<\frac{1}{2022}$.

2. Misalkan $A_n=\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 1 & P^{m+2}_{1} & \cdots & P^{m+2}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & P^{m+n}_{1} & \cdots & P^{m+n}_{n}\end{vmatrix}$ untuk setiap bilangan asli $n$.

Maka $A_1=\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1}\\ 1 & P^{m+1}_{1}\end{vmatrix}=P^{m+1}_{1}-P^{m}_{1}=1$.

Perhatikan bahwa dengan reduksi baris pada $A_n$ diperoleh

$\begin{align*}\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 1 & P^{m+2}_{1} & \cdots & P^{m+2}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & P^{m+n}_{1} & \cdots & P^{m+n}_{n}\end{vmatrix}&\sim \begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 1 & P^{m+2}_{1} & \cdots & P^{m+2}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+n}_{n}-P^{m+n-1}_{n}\end{vmatrix}\\ \sim \cdots &\sim \begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+2}_{n}-P^{m+1}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+n}_{n}-P^{m+n-1}_{n}\end{vmatrix}\\ &\sim \begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+1}_{n}-P^{m}_{n}\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+2}_{n}-P^{m+1}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & P^{m+n}_{n}-P^{m+n-1}_{n}\end{vmatrix}\end{align*}$

Matriks terakhir tidak lain adalah $\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m}_{n-1}\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m+1}_{n-1}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m+n-1}_{n-1}\end{vmatrix}$

Kemudian dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama diperoleh $\begin{align*}\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m}_{n-1}\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m+1}_{n-1}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & nP^{m+n-1}_{n-1}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} 1 & \cdots & nP^{m}_{n-1}\\ 1 & \cdots & nP^{m+1}_{n-1}\\ \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & \cdots & nP^{m+n-1}_{n-1}\end{vmatrix}\\ &=n!\begin{vmatrix} 1 & \cdots & P^{m}_{n-1}\\ 1 & \cdots & P^{m+1}_{n-1}\\ \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & \cdots & P^{m+n-1}_{n-1}\end{vmatrix}\\ &=n!A_{n-1}\end{align*}$

Sehingga kita mendapatkan persamaan rekursif dari persamaan terakhir yang kita peroleh yaitu $A_n=n!A_{n-1}$ dan $A_1=1$. Persamaan rekursif ini mempunyai penyelesaian yaitu $A_n=1!.2!.3!.\cdots .n!$. Jadi, kita sudah menunjukan bahwa

$\begin{vmatrix} 1 & P^{m}_{1} & \cdots & P^{m}_{n}\\ 1 & P^{m+1}_{1} & \cdots & P^{m+1}_{n}\\ 1 & P^{m+2}_{1} & \cdots & P^{m+2}_{n}\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ 1 & P^{m+n}_{1} & \cdots & P^{m+n}_{n}\end{vmatrix}=1!.2!.3!.\cdots .n!$

Oke sekian pembahasan soal ON-Mipa kali ini, terima kasih sudah berkunjung. Jika ada komentar silakan tuliskan di kolom komentar. Terima kasih.