Pembahasan Soal UAS Analisis Real 1 Tahun 2020

 Assalamu'alaikum, oke pada kesempatan kali ini saya akan membahas soal UAS Analisis Real 1 Tahun 2020. Namun, alangkah baiknya untuk anda mencobanya terlebih dahulu agar anda lebih mahir dalam menjawab soal Analisis Real. Penting untuk diketahui bahwa mungkin saja ada pembahasan dari saya yang kurang tepat, jadi kritik dan pembetulannya sangat diperlukan dengan menuliskannya di kolom komentar. Baiklah langsung saja ke pembahasannya.

Berikut adalah soal UAS Analisis Real 1 Tahun 2020

1. Buktikan pernyataan berikut.

a. Jika $c>1$ maka $c^n\geq c$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$

Jawab : Kita buktikan dengan induksi matematika. Pertama untuk $n=1$ maka $c^n=c^1=c$. Kemudian assumsikan benar bahwa $c^n\geq c$ dengan $c>1$. Maka $c^{n+1}=c.c^n\geq c.c=c^2$. Karena $c>1$ maka $c^2>c$. Oleh karena itu benar bahwa $c^{n+1}>c$. Terbukti.

b. Jika $0<c<1$ maka $c^n\leq c$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$

Jawab : Kita buktikan dengan induksi matematika. Pertama untuk $n=1$ maka $c^n=c^1=c$. Kemudian assumsikan benar bahwa $c^n\leq c$ dengan $0<c<1$. Maka $c^{n+1}=c.c^n\leq c.c=c^2$. Karena $0<c<1$ maka $c^2<c$. Oleh karena itu benar bahwa $c^{n+1}<c$. Terbukti.

c. Jika $c> 1$ maka $c^n>c$ untuk setiap $n> 1$ dan $n\in\mathbb{N}$

Jawab : Kita buktikan dengan induksi matematika. Pertama untuk $n=2$ maka $c^n=c^2>c$ (Karena $c>1$). Kemudian assumsikan benar bahwa $c^n> c$ dengan $c>1$. Maka $c^{n+1}=c.c^n> c.c=c^2$. Karena $c>1$ maka $c^2>c$. Oleh karena itu benar bahwa $c^{n+1}>c$. Terbukti.

d. Jika $0 < c < 1$ maka $c^n<c$ untuk setiap $n>1$ dan $n\in\mathbb{N}$

Jawab : Kita buktikan dengan induksi matematika. Pertama untuk $n=2$ maka $c^n=c^2<c$. Kemudian assumsikan benar bahwa $c^n< c$ dengan $0<c<1$. Maka $c^{n+1}=c.c^n< c.c=c^2$. Karena $0<c<1$ maka $c^2<c$. Oleh karena itu benar bahwa $c^{n+1}<c$. Terbukti.

2. Diberikan himpunan $A\subset \mathbb{R}$ dengan

a. $A=\left\{\frac{(-1)^n}{n+1}:n\in\mathbb{N}\right\}$

b. $A=\left\{\frac{(-1)^n}{n+2}:n\in\mathbb{N}\right\}$

c. $A=\left\{\frac{(-1)^n}{n+3}:n\in\mathbb{N}\right\}$

d. $A=\left\{\frac{(-1)^n}{n+4}:n\in\mathbb{N}\right\}$

Selidiki apakah himpunan adalah himpunan tertutup atau terbuka.

Jawab : a. Akan ditunjukkan bahwa $A$ bukan merupakan himpunan terbuka. Perhatikan bahwa $\forall \epsilon >0$, terdapat $p=\frac{1}{3}+\frac{\epsilon}{2}$ sedemikian sehingga $p\in V_{\epsilon}(\frac{1}{3})$ dan $p\notin A$. Maka $A$ bukan himpunan terbuka.

Selanjutnya perhatikan bahwa $A^c=\left\{(-\infty,-\frac{1}{2})\cup (-\frac{1}{2},-\frac{1}{4})\cup \cdots\cup \{0\}\cup\cdots\cup (\frac{1}{7},\frac{1}{5})\cup (\frac{1}{5},\frac{1}{3})\cup (\frac{1}{3},\infty)\right\}$

Karena ada $0\in A^c$ tetapi $0$ bukan titik interior $A^c$, maka $A^c$ bukan himpunan terbuka. Sehingga $A$ juga bukan himpunan tertutup.

b. Dengan cara serupa dengan bagian a. dapat ditunjukkan bahwa $A$ bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

c. Dengan cara serupa dengan bagian a. dapat ditunjukkan bahwa $A$ bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

d. Dengan cara serupa dengan bagian a. dapat ditunjukkan bahwa $A$ bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.

3. Selidiki apakah barisan

$X=\left\{\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\right\}$

Konvergen atau tidak. Jelaskan!

Jawab : Akan ditunjukkan bahwa $1$ adalah $lim X$. Perhatikan bahwa untuk sebarang $\epsilon >0$ ada $K=\frac{4}{\epsilon^2}$ sedemikian sehingga $\forall n\in\mathbb{N}$ dan $n\geq K$, maka $\frac{2}{\sqrt{n}}\leq \frac{2}{\sqrt{K}}=\frac{2}{\frac{2}{\epsilon}}=\epsilon$. Oleh karena itu $\left|\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}-1\right|=\left|\frac{-2}{\sqrt{n}+1}\right|=\frac{2}{\sqrt{n}+1}<\frac{2}{\sqrt{n}}\leq \epsilon$.

Terbukti. Oleh karena itu dapat kita simpulkan bahwa barisan tersebut konvergen.

4. Diberikan barisan bilangan real

$X=\left(n+\frac{(-1)^n}{n}\right)$

Selidiki apakah barisan X terbatas! Dan selidiki pula apakah barisan X konvergen!

Jawab : Peratikan bahwa barisan $X=Y+Z$ dimana $Y=(n)$ dan $Z=\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$. Jelas $Y$ adalah barisan tidak terbatas. Klaim $Z$ barisan terbatas.

Buktinya : $Z=\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)$. Untuk $n$ genap maka $\frac{(-1)^n}{n}=\frac{1}{n}$ jelas dalam kasus ini $0<\frac{1}{n}\leq \frac{1}{2}$. Kemudian jika $n$ ganjil maka $\frac{(-1)^n}{n}=-\frac{1}{n}$ jelas dalam kasus ini $-1\leq\frac{1}{n}<0$. Akibatnya barisan $Z$ terbatas di $[-1,\frac{1}{2}]$.

Karena $Y$ tidak terbatas dan $Z$ terbatas maka dapat disimpulkan bahwa $X$ tidak terbatas. Dan oleh karena itu $X$ tidak konvergen atau divergen.

5. a. Jika suatu barisan $X$ terbatas dan monoton naik maka apakah barisan tersebut pasti merupakan

Barisan Cauchy? Jelaskan.

b. Jika suatu barisan $X$ terbatas dan monoton naik maka apakah barisan tersebut pasti merupakan

Barisan Cauchy? Jelaskan.

c. Jika suatu barisan $X$ tidak terbatas dan monoton maka apakah barisan tersebut pasti merupakan

Barisan Cauchy? Jelaskan.

d. Jika suatu barisan $X$ terbatas dan tidak monoton maka apakah barisan tersebut pasti merupakan

Barisan Cauchy? Jelaskan.

Jawab : a. Ya, karena $X$ konvergen berdasarkan sifat kekonvergenan. Jadi, pasti $X$ barisan cauchy

b. Sama dengan a.

c. Tidak, karena barisan cauchy terbatas

d. Tidak, ambil contoh barisan $(-1)^n$, barisan ini terbatas dan tidak monoton. Akan tetapi barisan ini divergen maka bukan merupakan barisan cauchy.