Pembahasan UTS Aljabar Abstrak 1 2021

Hai semuanya, kali ini saya mencoba membahas soal UTS mata kuliah Aljabar Abstrak 1. Berikut ini merupakan soalnya.

1. Tentukan semua elemen yang berorder enam pada grup Dehidral $D_6$. (ingat grup pada segi-6 beraturan). Jelaskan.

2. Pada grup $(M=\left\{\begin{pmatrix}a & a\\ a & a\end{pmatrix}|a\in\mathbb{R},a\neq 0\right\},\times )$ tentukan elemen identitas dan invers dari $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$. Jelaskan.

3. Tentukan ada berapa subgrup berbeda dari $(Z_{200},+)$ dan beri contoh $3$ diantaranya.

4. Tentukan ada berapa dan apa saja elemen dari grup simetri yang dibentuk oleh gambar berikut ini. Jelaskan.

5. Diketahui $\mathbb{R}-\{0\}$ (himpunan bilangan real kecuali $0$) dengan operasi $*$ dimana $a*b=\frac{ab}{2}$.

a. Buktikan bahwa $\mathbb{R}-\{0\}$ dengan operasi biner merupakan grup.

b. Apakah $(\mathbb{R}-\{0\},*)$ merupakan grup siklik? Jelaskan.

6. Tentukan suatu operasi biner pada $Z6$ sedemikian sehingga membentuk grup dengan elemen identitas adalah $2$. Buktikan.

Pembahasan.

1. Kita punya grup $D_6$ yang anggotanya adalah $R_0,R_{60},R_{120},R_{180},R_{240},R_{300}$ dan 6 pencerminannya. Perhatikan bahwa order suatu elemen $a$ adalah nilai minimal $n$ positif sedemikian sehingga $a^n=e$ (elemen identitas). Jelas semua unsur pencerminan berorder $2$. Sehingga cukup dicek masing-masing unsur rotasinya, sehingga diperoleh semua elemen yang berorder $6$ pada grup dehidral $D_6$ adalah $\{R_0,R_{60},R_{300}\}$.

2. Karena $(M=\left\{\begin{pmatrix}a & a\\ a & a\end{pmatrix}|a\in\mathbb{R},a\neq 0\right\},\times )$ grup maka memiliki elemen identitas yaitu $\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$. Karena untuk sebarang $a\in \mathbb{R}$ kita peroleh

$\begin{pmatrix}a & a\\ a & a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & a\\ a & a\end{pmatrix}$.

Kemudian invers dari $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}$ adalah $\begin{pmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}$. Karena $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}$

3. Perhatikan bahwa $200=2^3\times 5^2$. Jadi banyak faktor positif dari $200$ adalah $(3+1)(2+1)=12$. Dapat disimpulkan bahwa banyak sub grup dari $(Z_{200},+)$ adalah $12$ yaitu $3$ diantaranya adalah $\{0\},Z_{200},\{0,100\}$

4. a. Ada $8$ yaitu $\{R_0,R_{90},R_{180},R_{270},H,V,D_1,D_2\}$

b. Ada $2$ yaitu $\{R_0,V\}$

5. a. Untuk membuktikan $\mathbb{R}-\{0\}$ dengan operasi biner merupakan grup akan kita periksa bahwa empat aksioma grup berlaku.

-) Tertutup terhadap operasi *.

Jelas bahwa untuk setiap $a,b\in\mathbb{R}-\{0\}$ maka $a*b=\frac{ab}{2}\in\mathbb{R}-\{0\}$

-) Bersifat assosiatif

Perhatikan bahwa untuk sebarang $a,b,c\in\mathbb{R}-\{0\}$ maka

$(a*b)*c=\frac{ab}{2}*c=\frac{abc}{4}$

$a*(b*c)=a*\frac{bc}{2}=\frac{abc}{4}$

Jadi $(a*b)*c=a*(b*c)$

-) Mempunyai elemen identitas

Ada $2\in \mathbb{R}-\{0\}$ sedemikian sehingga untuk setiap $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ berlaku

$2*a=\frac{2a}{2}=a$ dan $a*2=\frac{2a}{2}=a$.

-) Setiap unsurnya mempunyai invers

Untuk setiap $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ ada $\frac{4}{a}\in \mathbb{R}-\{0\}$ sedemikan sehingga

$a*\frac{4}{a}=\frac{\frac{4a}{a}}{2}=\frac{4a}{2a}=2$

Sehingga $\frac{4}{a}$ adalah invers dari $a$.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa $\mathbb{R}-\{0\}$ adalah grup dengan operasi $*$.

b. Bukan merupakan grup siklik.

Buktinya :

Kita akan gunakan bukti kontradiksi, andaikan $(\mathbb{R}-\{0\},*)$ merupakan grup siklik. Maka terdapat $a\in\mathbb{R}-\{0\}$ yang merupakan generator dari $\mathbb{R}-\{0\}$. Perhatikan bahwa

$\{a^n ; n=0,1,2,\cdots\}=\{2,a,\frac{a^2}{2},\frac{a^3}{4},\cdots \}$ 

Karena terdapat $\frac{a^2-4}{4}\in \mathbb{R}-\{0\}$ tapi $\frac{a^2-4}{4}\notin \mathbb{R}-\{0\}$.

Jadi, $(\mathbb{R}-\{0\},*)$ bukan merupakan grup siklik.

6. Perhatikan bahwa $Z6=\{0,1,2,3,4,5\}$. Pandang operasi biner * yang didefinisikan $a*b=a+b-2$.

-) Jelas $Z6$ tertutup terhadap operasi *

-) Perhatikan bahwa untuk sebarang $a,b,c\in Z6$ maka

$\begin{align}(a*b)*c&=(a+b-2)*c\\ &=a+b+c-4\end{align}$

$\begin{align}a*(b*c)&=a*(b+c-2)\\ &=a+b+c-4\end{align}$

Jadi $(a*b)*c=a*(b*c)$

-) Perhatikan bahwa $2$ adalah unsur identitas karena untuk sebarang $a\in Z6$ maka $a*2=a+2-2=a$ dan $2*a=2+a-2=a$.

-) Perhatikan bahwa $0$ mempunyai invers $4$, $1$ mempunyai invers $3$, $2$ mempunyai invers $2$, $3$ mempunyai invers $1$, dan $4$ mempunyai invers $0$.

Jadi, kita mendapatkan operasi biner sehingga $Z6$ membentuk grup dengan unsur identitasnya adalah $2$.