Pembahasan Soal UAS Teori Bilangan Elementer Tahun 2019

 Oke dulur dulur kali ini admin akan berbagi ilmu lagi nih, di kesempatan ini admin akan mencoba membahas soal UAS Teori Bilangan Elementer(TBE) tahun 2019. Oke seperti apa pembahasannya, silahkan kalia simak pembasan yang admin berikan. Jangan lupa tinggalkan komentar kalian jika kalian ingin bertanya atau jika ada soal yang kurang kalia pahami baiklah langsung saja kita ke pembahaasannya...

1. a. Diberikan bilangan bulat $a,b,p,q$

Buktikan jika $a|b$ dan $p|q$ maka $ap|bq$

b. Jika $a679b$ habis dibagi $8$ dan $9$ tetukan nilai $a$ dan $b$ tersebut. Jelaskan jawaban anda.

2. Jika hari ini hari Rabu, hari apakah $97^{101}$ hari lagi? Jelaskan jawaban anda.

3. Selidiki apakah kongruensi $18x\equiv 30\ (\text{mod}\ 42)$ mempunyai penyelesaian. Jika ada, carilah penyelesaiannnya. Jelaskan jawaban anda.

4. Aku adalah sebuah bilangan. Jika aku dibagi $6$ bersisa $5$. Jika aku dibagi $11$ bersisa $7$. Jika aku dibagi $13$ bersisa $10$. Jika aku dibagi $5$ bersisa $3$. Jika aku dibagi $7$ bersisa $6$. Berapakah Aku?

5. Carilah penyelesaian dari

$\left\{\begin{matrix}x+y+z&\equiv 1\ (\text{mod}\ 7)\\ x+y+w&\equiv 1\ (\text{mod}\ 7)\\ x+z+w&\equiv 1\ (\text{mod}\ 7)\\ y+z+w&\equiv 1\ (\text{mod}\ 7)  \end{matrix}\right.$

Pembahasan

1. a. $a|b\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}\ni ak=b$,

$p|q\Rightarrow\exists l\in\mathbb{Z}\ni pl=q$

Sehingga didapatkan

$bq=(ak)(pl)=(ap)(kl)$

Maka dari itu

$ap|bq$ (Terbukti)

b. Syarat bilangan habis dibagi $8$ yaitu tiga digit terakhirnya habis dibagi $8$, karena $\overline{a679b}$ habis dibagi $8$ maka $\overline{79b}$ habis dibagi $8$. Perhatikan bahwa $\overline{79b}=790+b$ dan $790\equiv 6\ \text{mod}\ 8$. Jadi haruslah $b=2$.

Syarat bilangan habis dibagi $9$ yaitu jumlah semua digitnya habis dibagi $9$, karena $\overline{a679b}$ habis dibagi $9$ maka $a+6+7+9+2=24+a$ habis dibagi $9$. Perhatikan bahwa $24\equiv 6\ \text{mod}\ 9$. Jadi haruslah $a=3$

Jadi nilai $a=3$ dan $b=2$

2. Akan dicari sisa pembagian $97^{101}$ oleh $7$. Perhatikan bahwa $97\equiv -1\ \text{mod}\ 7$. Jadi $97^{101}\equiv (-1)^{101}\ \text{mod}\ 7\equiv -1\ \text{mod}\ 7\equiv 6\ \text{mod}\ 7$.

$6$ hari setelah hari Rabu adalah Selasa. Jadi, $97^{101}$ hari lagi adalah hari Selasa.

3. $18x\equiv 30\ (\text{mod}\ 42)\Rightarrow\exists k\in\mathbb{Z}\ni 18x=42k+30$.

Bagi kedua ruas dengan $6$ didapat

$3x=7k+5$

$3|7k+5\Rightarrow 3|k+2$. $k=3l+1$ untuk suatu bil bulat $l$.

$3x=7k+5=21l+12$

$x=7l+4$

$x\equiv 4\ \text{mod}\ 7$

4. $\left\{\begin{matrix}x&\equiv 5\ (\text{mod}\ 6)\\ x&\equiv 7\ (\text{mod}\ 11)\\ x&\equiv 10\ (\text{mod}\ 13)\\ x&\equiv 3\ (\text{mod}\ 5)\\ x&\equiv 6\ (\text{mod}\ 7)  \end{matrix}\right.$

Sistem kongruensi tsb dapat dikerjakan dengan menggunakan Teorema Sisa China yaitu

$M=6\times 11\times 13\times 5\times 7$

didapat

$M_1=11\times 13\times 5\times 7$

$M_2=6\times 13\times 5\times 7$

$M_3=6\times 11\times 5\times 7$

$M_4=6\times 11\times 13\times 7$

$M_5=6\times 11\times 13\times 5$

Dengan begitu, kita peroleh

$y_1\equiv(11\times 13\times 5\times 7)^{-1} \text{mod}\ 6$

$y_1\equiv 5\times 1\times 5\times 1 \text{mod}\ 6$

$y_1\equiv 1 \text{mod}\ 6$

$y_2\equiv(6\times 13\times 5\times 7)^{-1} \text{mod}\ 11$

$y_2\equiv 2\times 6\times 9\times 8 \text{mod}\ 11$

$y_2\equiv 6 \text{mod}\ 11$

$y_3\equiv(6\times 11\times 5\times 7)^{-1} \text{mod}\ 13$

$y_3\equiv 11\times 6\times 8\times 2 \text{mod}\ 13$

$y_3\equiv 3 \text{mod}\ 13$

$y_4\equiv(6\times 11\times 13\times 7)^{-1} \text{mod}\ 5$

$y_4\equiv 1\times 1\times 2\times 3 \text{mod}\ 5$

$y_4\equiv 1\text{mod}\ 5$

$y_5\equiv(6\times 11\times 13\times 5)^{-1} \text{mod}\ 7$

$y_5\equiv 6\times 2\times 6\times 3 \text{mod}\ 7$

$y_5\equiv 6 \text{mod}\ 7$

$x\equiv 5\times 11\times 13\times 5\times 7\times 1+7\times 6\times 13\times 5\times 7\times 6+10\times 6\times 11\times 5\times 7\times 3+3\times 6\times 11\times 13\times 7\times 1+6\times 6\times 11\times 13\times 5\times 6 \text{mod}\ 6\times 11\times 13\times 5\times 7$

$x\equiv 21083 \text{mod}\ 30030$

5. Kita jumlahkan semuanya didapat

$3(x+y+z+w)\equiv 4\ (\text{mod}\ 7)\equiv 18\ (\text{mod}\ 7)$

$x+y+z+w\equiv 6\ (\text{mod}\ 7)$

Kurangkan ke setiap kongruensi pada soal didapat

$x\equiv 5\ (\text{mod}\ 7)$

$y\equiv 5\ (\text{mod}\ 7)$

$z\equiv 5\ (\text{mod}\ 7)$

$w\equiv 5\ (\text{mod}\ 7)$

Oke guys itu dia pembahasan UAS Teori Bilangan semoga bermanfaat buat kalian dan terima kasih sudah mampir di blog ini guys.