Pembahasan Tugas Teori Bilangan Elementer

 Berikut merupakan Tugas 1 kuliah Teori Bilangan Elementer yaitu terkait bilangan prima. Silahkan disimak soal dan pembahasannya. Jangan lupa tinggalkan komentar kalian di kolom komentar jika ada yang ingin ditanyakan. Materi tentang bilangan prima bisa dilihat di sini.

1. Dengan menggunakan konsep saringan Eratosthenes, tentukan semua bilangan prima dari 1 hingga 3 digit angka terakhir dari NIM mahasiswa.

2. Tentukan apakah bilangan-bilangan bulat berikut ini merupakan bilangan prima

     a. 101

     b. 103

     c. 107

     d. 111

     e. 113

     f. 121

3. Show that if the smallest prime factor $p$ of the positive integer $n$ exceeds $\sqrt[3]{n}$ then $\frac{n}{p}$ must be prime or $1$.

4. Show that every integer greater than 11 is the sum of two composite integers

Soal diatas tersebut adalah soal Tugas Teori Bilangan Elementer. Dan berikut adalah pembahasannya.

1. Karena 3 digit terakhir NIM saya adalah 022 maka saya akan mencari bilangan prima dari 1 hingga 22. Pertama tulis terlebih dahulu angka 1 hingga 22.

Kemudian : coret angka 1, lingkari angka 2 dan coret kelipatannya, lingkari angka 3 dan coret kelipatannya, lingkari angka 5 dan coret kelipatannya, lingkari angka 7 dan coret kelipatannya, lakukan hal ini terus hingga mendapatkan seperti gambar dibawah.

Jadi, Bilangan prima dari 1 hingga 22 yaitu 2,3,5,7,11,13,17, dan 19.

2. a. Ya, 101 prima

    b. Ya, 103 prima

    c. Ya, 107 prima

    d. Tidak, 111 bukan prima karena 111=3.37

    e. Ya, 113 prima

    f. Tidak, 121 bukan prima karena 121=11.11

3. Let us assume that $\frac{n}{p}$ is composite number, because $p$ is smallest prime factor of $n$ we have $\frac{n}{p}>\frac{p^3}{p}=p^2$ or $n>p^3$. Note that $p>\sqrt[3]{n}$ so we have $n<p^3$ (Contradict). So, $\frac{n}{p}$ must be prime or $1$. (Q.E.D)

4. For cases $n>11$ is odd. We have $n-9>11-9=2$. Since $n-9=2k>2$, we conclude that $n=2k+9$, $k>1$. $2k$ and $9$ are composite integers.

For cases $n> 11$ is even. We have $n-4 >11-4=7$. Since $n-4=2l>7$, we conclude that $n=2l+4$, for $l>3$. $2k$ and $4$ are composite integers.

So, for every integer greater than 11 is the sum of two composite integers. (Q.E.D)