Tugas Teori Bilangan Elementer (Keterbagian)

Oke pada kesempatan ini admin akan membahas tugas Teori Bilangan Elementer (TBE) terkait keterbagian. 

Berikut merupakan tugas tentang keterbagian dalam mata kuliah Teori Bilangan Elementer

1. Buktikan

a. jika $p\mid q$ maka $p^2\mid q^2$

b. jika $p\mid q$ maka $p^2\mid 3q^2$

2. Untuk setiap bilangan bulat $q$, buktikan $\frac{q(q^2+2)}{3}$ merupakan bilangan bulat.

3. Buktikan sebarang bilangan kuadrat bila dibagi 4 selalu memberikan sisa $0$ atau $1$.

4. Diketahui $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat. Buktikan bahwa $2x+3y$ dapat dibagi $17$ jika dan hanya jika $9x+5y$ dapat dibagi oleh $17$

Pembahasan :

1.

a. $p\mid q$ berarti ada suatu bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $q=kp$. Dari persamaan terakhir diperoleh $q^2=(kp)^2=k^2p^2$. Karena $q^2$ merupakan kelipatan bagi $p^2$, maka $p^2\mid q^2$. (terbukti)

b. Berdasarkan soal sebelumnya jika $p\mid q$ maka $p^2\mid q^2$. Karena $p^2\mid q^2$, maka pasti $p^2\mid 3q^2$. (terbukti)

2. Perhatikan untuk suatu $q$ bulat, $q$ bisa dinyatakan sebagai salah satu dari bentuk $\{3k,3k+1,3k+2\}$, untuk suatu $k$ bilangan bulat. Jika $q=3k$ maka jelas $\frac{q(q^2+2)}{3}=\frac{3k(q^2+2)}{3}=k(q^2+2)$ yang merupakan bilangan bulat. Jika $q=3k+1$ maka $q^2+2=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)$ yang merupakan kelipatan $3$ dan mengakibatkan $\frac{q(q^2+2)}{3}$ merupakan bilangan bulat. Begitu juga jika $q=3k+2$ maka $q^2+2=9k^2+6k+6=3(3k^2+2k+2)$ yang merupakan kelipatan $3$ dan mengakibatkan $\frac{q(q^2+2)}{3}$ merupakan bilangan bulat. Jadi, terbukti bahwa untuk setiap bilangan bulat $q$, $\frac{q(q^2+2)}{3}$ merupakan bilangan bulat.

3. Perhatikan bahwa suatu bilangan bulat hanya bisa dinyatakan sebagai bilangan genap atau ganjil dengan kata lain berbentuk $\{2k,2k+1\}$. Sehingga bilangan kuadrat selalu berbentuk $(2k)^2=4k^2$ atau $(2k+1)^2=4k^2+4k+1$. Bentuk $4k^2$ akan bersisa $0$ jika dibagi $4$, sedangkan bentuk $4k^2+4k+1$ akan bersisa $1$ jika dibagi $4$.

4. Pertama akan dibuktikan jika $2x+3y$ dapat dibagi $17$ maka $9x+5y$ juga habis dibagi $17$. Karenanya ada suatu bil bulat $z$ sedemikian sehingga $2x+3y=17z$. Perhatikan bahwa $13(2x+3y)-17(x+2y)=9x+5y$.

Dari persamaan terakhir diperoleh $13(17z)-17(x+2y)=17(13z-x-2y)=9x+5y$. Jadi, $9x+5y$ dapat dibagi oleh $17$

Kemudian selanjutnya akan dibuktikan jika $9x+5y$ juga habis dibagi $17$ maka $2x+3y$ dapat dibagi $17$. Karenanya ada suatu bil bulat $t$ sedemikian sehingga $9x+5y=17t$. Perhatikan bahwa $9x+5y+17(x+2y)=13(2x+3y)$.

Dari persamaan terakhir diperoleh $17t+17(x+2y)=17(t+x+2y)=13(2x+3y)$. Karena $17$ dan $13$ relatif prima. Jadi, haruslah $2x+3y$ dapat dibagi oleh $17$