Pembahasan Soal KTO Matematika Bulan Agustus 2020

 Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh
Salam sejahtera bagi kita semua... Di kesempatan ini saya akan membahas soal KTO Matematika (Kontes Terbuka Olimpiade Matematika) bulan Agustus kemarin. Semoga pembahasannya bermanfaat. Mohon koreksinya jika dalam pembahasan yang saya buat terdapat kesalahan. Masukan dari kalian sangat bermanfaat bagi saya.
Baiklah langsung saja disimak pembahasannya. Pada blog ini akan dibahas no 1-5
Sumber soal : https://ktom.tomi.or.id/
Bagian A
1. Diberikan segienam beraturan dengan luas $24\sqrt{3}$. Tentukan keliling dari segienam tersebut.
Pembahasan : Luas segienam beraturan bisa dihitung dengan luas $6$ buah segitiga sama sisi. $L=6.\frac{1}{2}s^2\sin\ 60^{\circ}$. Oleh karenanya diperoleh

$24\sqrt{3}=6.\frac{1}{2}s^2.\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$16=s^2$
$4=s$
Jadi, keliling daripada segienam tersebut adalah $6\times 4=24$
2. Diberikan dua bilangan asli $m$ dan $n$ sehingga $mn+2m$ habis membagi $mn+m+n+1$. Tentukan jumlah semua kemungkinan nilai dari $\mid m-n\mid$
Pembahasan : Perhatikan bahwa $m(n+2)|(m+1)(n+1)$. Jelas bahwa $n+2$ tidak habis membagi $n+1$. Jadi, haruslah $n+2$ habis membagi $m+1$. Kemudian juga $m$ harus habis membagi $n+1$. Dan ini terjadi jika $n+2\leq m+1$ dan $m\leq n+1$. Sehingga didapat $m=n+1$. Jadi, nilai dari $|m-n|=1$
3. Tentukan bilangan asli terkecil $n>1$ sehingga berlaku sifat berikut: Pada papan persegi berukuran $n\times n$, kita dapat menaruh $n$ buah ratu yang tidak saling menyerang satu sama lain.
Pembahasan : Pertama untuk $n=4$ memenuhi kondisi tersebut. Seperti pada gambar berikut.

Kemudian jelas $n\leq 3$ tidak memenuhi. Untuk $n=2$ cukup jelas. Untuk $n=3$ perhatikan bahwa haruslah ketiga buah catur tersebut berada di warna yang berbeda agar tidak saling menyerang. Padahal terdapat dua warna jadi $n=3$ tidak memenuhi. Jadi, bilangan asli terkecil $n$ yang memenuhi adalah $4$.
4. Misalkan $a,b,c,d,\text{dan} e$ adalah lima akar kompleks berbeda dari persamaan $x^5-x-2020=0$. Tentukan nilai dari $\lfloor a+b+c^5+d^5+e^5\rfloor$.
Pembahasan : Perhatikan bahwa $x^5=x+2020$. Maka $\lfloor a+b+c^5+d^5+e^5\rfloor=\lfloor a+b+c+2020+d+2020+e+2020\rfloor$. Dengan teorema vietta diperoleh $a+b+c+d+e=0$. Jadi, nilai dari $\lfloor a+b+c^5+d^5+e^5\rfloor =6060$.
5. Misalkan $S_n$ adalah jumlah $n$ bilangan bulat positif pertama. Apabila nilai dari
$\frac{S_2}{S_2-1}.\frac{S_3}{S_3-1}.\cdots .\frac{S_{2020}}{S_{2020}-1}$

dapat dinyatakan sebagai pecahan sederhana $\frac{a}{b}$, dengan $a$ dan $b$ adalah dua bilangan bulat positif, tentukan nilai dari $a+b$.
Pembahasan : Perhatikan bahwa $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$. Maka $S_n-1=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$.
Jadi diperoleh
$\begin{align}\frac{S_2}{S_2-1}.\frac{S_3}{S_3-1}.\cdots .\frac{S_{2020}}{S_{2020}-1}&=\frac{2.3}{1.4}.\frac{3.4}{2.5}.\cdots .\frac{2020.2021}{2019.2022}\\ &=\frac{3.2020}{1.2022}\\ &=\frac{1010}{337}\end{align}$
Diperoleh nilai $a=1010$ dan $b=337$. Jadi, nilai dari $a+b=1347$