Pembahasan KN-MIPA PT Matematika 2020 Tingkat Wilayah Hari Kedua

Hai teman teman semua kali ini kita akan membahas soal ON-Mipa PT khususnya bidang Matematika tahun 2020 mari kita simak pembahasan nya.

Pembahasan Soal KN-MIPA PT Tingkat Wilayah Hari Kedua Bagian Isian Singkat Tahun 2020

1. Diketahui bahwa matriks

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & a & 10\\ 0 & 1 & b \end{bmatrix}$

memiliki rank sama dengan 2. Nilai $ab$ adalah

2. Misalkan $A$ adalah sebuah matriks ukuran $9\times 9$ yang memenuhi sifat :

(a) Semua komponen baris pertama matriks $A$ berbeda.

(b) Komponen baris lainnya adalah suatu permutasi dari komponen pada baris pertama.

Nilai eigen yang senantiasa dimiliki oleh matriks $A$ dengan sifat tersebut adalah 

3. Solusi dari relasi rukuren $u_n=3u_{n-2}-2u_{n-3}, (n\geq 3)$, dengan syarat awal $u_0=1$, $u_1=0$, dan $u_2=0$ adalah

4. Banyak bilangan kompleks $z$ sehingga $z^{2020}=1$ tetapi $z^{20}\neq 1$ adalah

5. Cakram terbuka $A=\left\{z\in\mathbb{C}:\left| z-\frac{1}{3}\right|<r\right\}$

dipetakan oleh fungsi $f(z)=\frac{z}{z+1}$

menjadi cakram terbuka $B=\left\{z\in\mathbb{C}:| z| <\frac{1}{2}\right\}$

nilai $r$ adalah

6. Penyelesaian dari persamaan $ie^z+1=0$

yang memenuhi $4<| z|<5$ adalah

Pembahasan

1. Lakukan OBE pada matriks $A$ sebagai berikut

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & a & 10\\ 0 & 1 & b\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & a & 12\\ 0 & 1 & b\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & b\\ 0 & a & 12\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 12-ab\end{bmatrix}$

Pandang matriks $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 12-ab\end{bmatrix}$ karena memiliki rank sama dengan $2$ maka mestilah $12-ab=0$ atau $ab=12$

2. Pembahasan belum tersedia

3. Kita pindah ruaskan dulu persamaannya menjadi $u_n-3u_{n-2}+2u_{n-3}=0$.

Persamaan karakteristik dari relasi rekuren tersebut adalah $x^3-3x+2=0$

$x^3-3x+2=0$

$(x+2)(x-1)^2=0$

$x=-2$ atau $x=1$

Maka solusi umum nya adalah $u_n=C_1(-2)^n+C_2+C_3n$

Akan dicari nilai dari $C_1$, $C_2$, dan $C_3$ dengan memanfaatkan kondisi awal yang diberikan yaitu

$u_0=C_1(-2)^0+C_2=C_1+C_2=1$

$u_1=C_1(-2)^1+C_2+C_3=-2C_1+C_2+C_3=0$

$u_2=C_1(-2)^2+C_2+2C_3=4C_1+C_2+2C_3=0$

Lakukan eliminasi substitusi pada ketiga persamaan tersebut hingga akhirnya didapat $C_1=\frac{1}{9}$, $C_2=\frac{8}{9}$, dan $C_3=-\frac{2}{3}$. Substitusi nilai $C_1,C_2,C_3$ ke solusi umum tadi. Didapat $u_n=\frac{1}{9}(-2)^n+\frac{8}{9}-\frac{2}{3}n$

4. Perhatikan bahwa $z^{20}-1$ membagi $z^{2020}-1$ karena $z^{2020}-1=(z^{20}-1)(z^{2000}+z^{1080}+z^{1060}+\cdots +z^{20}+1)$. Kemudian perhatikan bahwa banyak solusi kompleks dari $z^{20}=1$ adalah sebanyak $20$ sedangkan banyak solusi kompleks dari $z^{2020}=1$ adalah $2020$. Jadi artinya banyak solusi kompleks dari $z^{2020}=1$ sehingga $z^{20}\neq 1$ adalah $2020-20=2000$

5. Fungsi tersebut tetap memetakkan cakram terbuka menjadi suatu cakram terbuka. Karena $r$ di domain maka kita cari dulu $f^{-1}(z)$. Dengan mudah $f^{-1}(z)=-\frac{z}{z-1}$. Perhatikan bahwa $f^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=1$. Jadi, $r=|1-\frac{1}{3}|=\frac{2}{3}$

6. Persamaan pada soal ekuivalen dengan $e^z=i$. Kita tahu bahwa $e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$. Jadi $e^z=i=\cos \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)+i\sin \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)=e^{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ untuk suatu $k$ bilangan bulat.

Sehingga $z=\frac{\pi}{2}+2k\pi$. Karena $4<| z|<5$ maka yang memenuhi hanyalah $z=-\frac{3\pi}{2}$