Induksi Matematika

Hello guys... Oke di kesempatan ini saya akan membahas tentang induksi matematika. Baik sebelum kita membahasnya, pernahkah kalian melihat efek domino? atau kalian pernah memainkannya?

Apa itu Efek Domino???

Biasanya saat kecil anda pernah bermain kartu yang disusun berdiri sedemikian rupa sehingga ketika anda menjatuhkan kartu pertama maka kartu pertama akan menjatuhkan kartu kedua dan kartu kedua menjatuhkan kartu ketiga dan seterusnya sehingga semua kartu yang kalian susun jatuh, nahh inilah yang disebut dengan prinsip efek domino.

Bagaimana kita memastikan bahwa semua domino yang kita susun itu bisa jatuh atau bagaimana efek domino itu bisa terjadi??

Pertama, kita harus menyusunnya sedemikian sehingga domino yang kita susun itu saling berdekatan tujuannya agar ketika kita menjatuhkan salah satu domino maka domino berikutnya juga ikut jatuh.
Kedua, kita jatuhkan saja domino pertama.
Karena domino pertama jatuh maka menurut syarat pertama domino yang kedua juga ikut jatuh, dan karena domino kedua jatuh maka domino ketiga juga jatuh, begitupun seterusnya sampai semua domino yang kita susun jatuh.

Lalu, Apa kaitannya antara efek domino dengan induksi matematika. Pada dasarnya, prinsip induksi matematika itu sama dengan efek domino.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan $p_n$ adalah suatu pernyataan yang bergantung pada $n$ dimana $n\in\mathbb{N}$.
Contohnya : $n^4+1>0$
Kemudian kita punya $p_1,p_2,p_3,\cdots ,p_k,p_{k+1},\cdots$. Lalu kita diminta untuk menunjukkan semua itu benar, maka kita bisa menggunakan prinsip induksi. Hmm.... Gimana caranya??
Caranya sama dengan sebelumnya yakni untuk menunjukkan $p_n$ benar $\forall n$ maka harus memenuhi dua kondisi juga yakni :
1. Statement itu benar jika $p_1$ benar untuk $n=1$. Ini dinamakan base step
2. Assumsikan bahwa $p_k$ benar untuk $n=k$, tunjukan bahwa statement tersebut juga benar untuk $n=k+1$. Ini dinamakan inductive step
Jika kedua kondisi diatas terpenuhi maka kita dapat menyimpulkan bahwa $p_n$ benar untuk setiap $n$. Perlu diketahui juga bahwa disini $n$ tidak harus dimulai dari $1$ tergantung dari masalah yang kita buktikan. Untuk lebih memahami perhatikan contoh soal berikut.
Buktikan bahwa $2^n> 2n$ untuk setiap $n\geq 3$.
Pembahasan : Kita akan buktikan dengan Induksi matematika. Karena $n\geq 3$ maka kita mulai untuk $n=3$. Perhatikan bahwa untuk $n=3$, $2^n=2^3=8$ dan $2n=2\times 3=6$. Jelas $8> 6$, maka untuk $n=3$ pernyataan tersebut bernilai benar. Kemudian assumsikan benar untuk $n=k$ sehingga kita mempunyai

$2^k> 2k$ untuk $k\geq 3$
yang bernilai benar.
Akan dibuktikan pernyataan tersebut juga benar untuk $n=k+1$,
Buktinya : Mulai dari assumsi kita punya
$2^k> 2k$. Kalikan kedua ruas dengan $2$ maka kita dapatkan $2^{k+1}> 4k$. Perhatikan bahwa $4k=2k+2k>2k+2=2(k+1)$. Jadi, $2^{k+1}> 2(k+1)$.
Karena untuk $n=k+1$ benar maka terbukti pernyataan tersebut benar untuk $n\geq 3$. Dan kita selesai.