Fungsi Tangga

Fungsi Floor

Fungsi floor disebut juga fungsi pembulatan ke bawah yakni dengan mengambil bilangan bulatnya. Untuk sebarang bilangan real $x$ fungsi floor dari $x$ ditulis dengan $\lfloor x\rfloor$.

Definisi : Misalkan $x$ adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi floor $x$ ditulis $\lfloor x\rfloor$ merupakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$.
Contoh : $\lfloor 2,81\rfloor=2$, $\lfloor -4,56\rfloor=-5$, $\lfloor \sqrt{2}\rfloor=1$, dll.
Definisi : Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\{x\}$ menyatakan bagian pecahan dari $x$. Sehingga kita punyai $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$
Dari sini jelas bahwa untuk suatu bilangan real $x$ berlaku $0\leq \{x\}< 1$
Dari definisi-definisi tersebut kita punya sifat dalam fungsi floor itu sendiri yakni
1. Untuk sebarang bilangan real $x$ berlaku $x-1<\lfloor x\rfloor\leq x$
2. $\lfloor x\rfloor=x$ jika dan hanya jika $x$ bilangan bulat
3. $\lfloor x+k\rfloor=\lfloor x\rfloor +k$ untuk setiap bilangan bulat $k$
4. $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$
5. $\lfloor xy\rfloor \leq\lfloor x\rfloor \lfloor y\rfloor$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$

Fungsi Ceiling

Fungsi ceiling, kebalikan dari fungsi floor, disebut juga fungsi pembulatan ke atas. Untuk sebarang bilangan real $x$ fungsi ceiling dari $x$ ditulis dengan $\lceil x\rceil$.

Definisi : Misalkan $x$ adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi ceiling $x$ ditulis $\lceil x\rceil$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan $x$.

Contoh : $\lceil 2,81\rceil=3$, $\lceil -6,54\rceil=-5$, $\lceil \sqrt{7}\rceil=3$, dll.

Definisi : Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\{x\}$ menyatakan bagian pecahan dari $x$. Sehingga kita punyai $\{x\}=\lceil x\rceil-x$
Dari sini jelas bahwa untuk suatu bilangan real $x$ berlaku $0\leq \{x\}< 1$
Dari definisi-definisi tersebut kita punya sifat dalam fungsi floor itu sendiri yakni
1. Untuk sebarang bilangan real $x$ berlaku $x\leq\lceil x\rceil< x+1$
2. $\lceil x\rceil=x$ jika dan hanya jika $x$ bilangan bulat
3. $\lceil x+k\rceil=\lceil x\rceil +k$ untuk setiap bilangan bulat $k$
4. $\lceil x\rceil +\lceil y\rceil \geq \lceil x+y\rceil$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$
5. $\lceil xy\rceil \geq\lceil x\rceil \lceil y\rceil$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$

Fungsi Bulat

Fungsi bulat disebut juga fungsi pembulatan ke bilangan bulat terdekat. Untuk sebarang bilangan real $x$ fungsi bulat dari $x$ ditulis dengan $[x]$.
Definisi : Misalkan $x$ adalah sebarang bilangan real. Nilai fungsi bulat $x$ ditulis $[x]$ merupakan bilangan bulat terdekat dengan $x$. Jika $x=k+\frac{1}{2}$ untuk suatu bilangan bulat $k$, maka kita definisikan $[x]=k+1$

Contoh : $[2,81]=3$, $[-6,54]=-7$, $[\sqrt{6,25}]=3$, dll.

Dari definisi-definisi tersebut kita punya sifat dalam fungsi bulat itu sendiri yakni
1. Untuk sebarang bilangan real $x$ berlaku $x\leq[x]< x+1$
2. $[x]=x$ jika dan hanya jika $x$ bilangan bulat
3. $[x+k]=[x]+k$ untuk setiap bilangan bulat $k$
4. $[x] +[y] \geq [x+y]$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$
5. $[xy]\geq [x][y]$ untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$

Dari penjelasan diatas tentu ada keterkaitan antara fungsi floor, fungsi ceiling, dan fungsi bulat yaitu jika untuk suatu bilangan bulat $x$ maka $\lfloor x\rfloor=\lceil x\rceil=[x]$, dan jika $x$ bukan bilangan bulat maka berlaku pula $\lfloor x\rfloor=\lceil x\rceil-1$

Contoh Soal

1. Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $\lceil x^2\rceil +\lfloor x^2\rfloor =2003$
Jawab : Andaikan jika $x^2$ bulat maka $\lceil x^2\rceil=\lfloor x^2\rfloor=x^2$, sehingga diperoleh bahwa $2x^2=2003$. Karena tidak ada $x^2$ bilangan bulat yang memenuhi maka $x^2$ bukan bilangan bulat. Sehingga berlaku $\lfloor x^2\rfloor=\lceil x^2\rceil-1$ kita substitusi ke persamaan sehingga didapatkan $2\lceil x^2\rceil =2004$ atau $\lceil x^2\rceil =1002$. Sehingga nilai $x^2$ yang memenuhi persamaan diatas adalah $1001\leq x^2< 1002$. Kesimpulannya semua bilangan real $x$ yang memenuhi persamaan $\lceil x^2\rceil +\lfloor x^2\rfloor =2003$ adalah $-\sqrt{1002}< x\leq -\sqrt{1001}$ atau $\sqrt{1001}\leq x< \sqrt{1002}$
2. Tentukan banyaknya digit nol disebelah kanan tanpa terputus dari $100!$
Jawab : angka nol dibelakang muncul ketika kita mengalikan dengan $10=2\times 5$, karena faktor $2$ lebih banyak dibanding faktor $5$ maka kita cukup menghitung kelipatan $5$. Karena $100=25\times 4=(5\times 2)^2$ maka akan terhitung dua kali, jadi banyak digit nol disebelah kanan tanpa terputus dari $100!$ adalah $\lfloor\frac{100}{5}\rfloor +\lfloor\frac{100}{25}\rfloor =20+4=24$
3. Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\lfloor x\rfloor \lceil x\rceil =x^2$
Jawab : Jika $x$ bilangan bulat jelas persamaan diatas terpenuhi, jika tidak WLOG misalkan $x=k+r$ dengan $k\in\mathbb{Z}$ dan $0\leq r<1$ maka kita dapatkan $\lfloor x\rfloor=k$ dan $\lceil x\rceil=k+1$ maka $\lfloor x\rfloor \lceil x\rceil =k^2+k$, sedangkan $x^2=k^2+2kr+r^2$
didapat $k=2kr+r^2$ atau $r^2+2kr-k=0$
akar-akar persamaan diatas adalah $r_{1,2}=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2+4k}}{2}=-k\pm\sqrt{k^2+k}$
diperoleh $x=\pm\sqrt{k^2+k}$ dengan $k\in\mathbb{Z}$
Kesimpulannya semua nilai $x$ yang memenuhi adalah $x$ bilangan bulat atau $x=\pm\sqrt{k^2+k}$ dengan $k\in\mathbb{Z}$