Pembahasan Soal UAS Kalkulus Differensial 2018

Selamat datang kembali kali ini saya membahas soal UAS kalkulus differensial tahun 2018 karena permintaan salah satu pengunjung. Langsung saja tanpa banyak bacot.

1) Carilah $\frac{dy}{dx}$ jika

a) $y=x^2.ln\ x^2+(ln\ x)^3$

b) $sin(xy)=y$

Jawab :

a) $y=x^2.ln\ x^2+(ln\ x)^3$

 $\frac{dy}{dx}=2x.ln\ x^2+x^2.\frac{2x}{x^2}+3(ln\ x)^2.\frac{1}{x}$

 $\frac{dy}{dx}=2x.ln\ x^2+2x+\frac{3(ln\ x)^2}{x}$

b) $y=sin(xy)$

Kita perhatikan bahwa $\frac{d(xy)}{dx}=y+x\frac{dy}{dx}$

Jadi kembali lagi kesoal

$\frac{dy}{dx}=cos(xy)(y+x\frac{dy}{dx})$

$\frac{dy}{dx}=ycos(xy)+xcos(xy)\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx}(1-xcos(xy))=ycos(xy)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{ycos(xy)}{1-xcos(xy)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{sin(xy)cos(xy)}{1-xcos(xy)}$

2) Tentukan interval kemonotonan (dimana $f$ naik dan turun) dari fungsi $f$ dengan
$f(x)=\frac{x^2+4}{2x}$, $x\neq 0$
Serta carilah semua asimtot (datar, tegak, miring) dan grafik fungsi $f$ (jika ada)
Jawab : Untuk mengetahui interval fungsi $f$ naik dan turun maka kita butuh $f'(x)$
$f'(x)=\frac{4x^2-2x^2-8}{4x^2}$
$f'(x)=\frac{2x^2-8}{4x^2}$
Fungsi dikatakan naik jika $f'(x)>0$

$\frac{2x^2-8}{4x^2}>0$
$2x^2-8>0$
$x^2-4>0$
$(x-2)(x+2)>0$
$x<-2 atau="" x="">2$ fungsi naik
Fungsi dikatakan turun jika $f'(x)<0$
$\frac{2x^2-8}{4x^2}<0$
$2x^2-8<0$
$x^2-4<0$
$(x-2)(x+2)<0$
$-2<x<2$ fungsi turun
Mencari Asimtot
$x=0$ adalah asimtot tegak karena $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=\infty$
$y=\frac{1}{2}x$ juga merupakan asimtot miring karena $f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{2}{x}$ ketika $x\to\infty$ nilai $\frac{2}{x}\to 0$

3) Sebuah tangga yang panjangnya 2 meter bersandar di dinding. Jika ujung bawah ditarik mendatar menjauhi dinding dengan laju 0,2 meter/detik. Seberapa cepatkah ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada saat ujung bawah tangga berjarak 0,4 meter dari dinding

Jawab : Misalkan titik ujung tangga yang bawah adalah $x(t)$ dan titik ujung tangga yang atas adalah $y(t)$. Maka akan kita cari nilai $\frac{dy(t)}{dt}$ saat $x(t)=0,4$
$x(t)^2+y(t)^2=2^2$
$2x(t)\frac{dx(t)}{dt}+2y(t)\frac{dy(t)}{dt}=0$
$2.0,4.0,2+2y(t)\frac{dy(t)}{dt}=0$
padahal $y(t)=\sqrt{4-x(t)^2}=\sqrt{4-0,16}=\sqrt{3,84}$
$y(t)≈1,96$

$2.0,4.0,2+2.1,96\frac{dy(t)}{dt}=0$
$0,08+1,96\frac{dy(t)}{dt}=0$
$\frac{dy(t)}{dt}≈-0,04$
Jadi kecepatan ujung atas tangga bergeser menuruni dinding pada saat ujung bawah tangga berjarak 0,4 meter dari dinding adalah $0,04$

4) Tentukan deret Taylor yang dibangun oleh $f$ di $x=1$ dengan $f(x)=2^x$
Jawab : Perhatikan bahwa
$f(1)=2$
$f'(1)=2ln\ 2$
$f''(1)=2(ln\ 2)^2$
dst...
Jadi deret taylor dari $f(x)=2^x$ adalah
$f(x)=2+2ln\ 2(x-1)+\frac{2(ln\ 2)^2(x-1)^2}{2!}+\frac{2(ln\ 2)^3(x-1)^3}{3!}+\cdots+\frac{2(ln\ 2)^n(x-1)^n}{n!}+\cdots$