Pembahasan Soal UAS Kalkulus Differensial 2018

Karena Kegabutan dan Pusing Tugas Banyak Maka Saya Membuat Ini

1) Diberikan suatu fungsi $y$ dalam $x$ sebagai berikut :

$y=ln(sin^3\ (2x))$

Buktikan bahwa $\frac{dy}{dx}+\frac{3}{sin\ x. cos\ x}=6cot\ x$

Jawab : Perhatikan bahwa kita punya

$y=ln(sin^3\ (2x))$

misalkan : $u=sin\ (2x)$

                    $v=u^3$

maka : $y=ln(v)$

             $\frac{dy}{dv}=\frac{1}{v}$

Padahal kita tau bahwa dengan aturan rantai

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}.\frac{dv}{du}.\frac{du}{dx}=\frac{1}{v}.3u^2.2cos\ (2x)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{6sin^2\ (2x)cos\ (2x)}{sin^3\ (2x)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{6cos\ (2x)}{sin\ (2x)}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{12cos^2\ x-6}{2sin\ x.cos\ x}$

$\frac{dy}{dx}=6cot\ x-\frac{3}{sin\ x.cos\ x}$

$\frac{dy}{dx}+\frac{3}{sin\ x. cos\ x}=6cot\ x$ (Q.E.D)

2) Tentukan persamaan garis singgung kurva $x^2+xy-y^2=1$ yang melalui titik $(2,3)$ 

Jawab : Rumus umum persamaan garis adalah

$y-y_1=m(x-x_1)$

Dalam kasus ini yaitu

$y-3=m(x-2)$

Jadi kita hanya membutuhkan nilai $m$ perhatikan bahwa persamaan diatas jika saya turunkan terhadap $x$ adalah

$2x+y+x\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}=0$

$(x-2y)\frac{dy}{dx}=-2x-y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x+y}{2y-x}$

$m=\frac{4+3}{6-2}=\frac{7}{4}$

Jadi persamaan garis singgung yang diminta soal adalah $y=\frac{7}{4}x+\frac{11}{4}$

3) Diketahui fungsi $f(x)=\frac{8x}{x^2+4}$ dengan menggunakan konsep turunan, tentukan :

a) Interval kurva naik dan interval fungsi turun

b) Koordinat titik stasioner beserta jenisnya
Jawab :
a) Untuk mencari interval fungsi naik atau fungsi turun. Kita perlu cari turunan pertamanya.
$f'(x)=\frac{8x^2+32-16x^2}{(x^2+4)^2}$
$f'(x)=\frac{-8x^2+32}{(x^2+4)^2}$
fungsi naik jika $f'(x)>0$ dan turun jika $f'(x)<0$ .

Fungsi naik

$\frac{-8x^2+32}{(x^2+4)^2}>0$
$-8x^2+32>0$
$x^2-4<0$
$(x-2)(x+2)<0$
interval fungsi naik
$-2<x<2$
Fungsi turun
Dg cara yang serupa diperoleh interval fungsi turun
$x<-2$ atau $x>2$

b) Koordinat titik stasioner diperoleh pada saat $f'(x)=0$ yaitu di $(-2,-2)$ dan $(2,2)$. Jenisnya $(-2,-2)$ adalah minimum lokal dan $(2,2)$ adalah maksimum lokal

4) Diketahui titik $A$ dan titik $B$, bukan titik pusat koordinat (bukan titik $O$). Titik $A$ terletak pada sumbu x, titik $B$ terletak pada sumbu y. Panjang ruas garis $AB$ adalah $20$ cm. Jika $AOB$ siku siku di titik $O$, tentukan koordinat titik $A$ dan $B$ sedemikian hingga luas segitiga $AOB$ maksimum.
Jawab :
Kalau saya boleh komentar ini yang pertama setiap satuannya panjang nya tidak diketahui, lalu tiba tiba ada satuan cm. Jadi saya assumsikan setiap satuan panjangnya 1 cm. Kita juga tidak tahu koordinatnya di x positif atau negatif dan y positif atau negatif.
Kita misalkan koordinat $A$ adalah $(x_1,0)$ dan $B$ adalah $(0,y_2)$. Maka $x_1^2+y_2^2=400$.
Luas segitiga $AOB=\frac{1}{2}x_1y_2=\frac{1}{2}x_1\sqrt{400-x_1^2}$
Maka agar maksimum haruslah
$\frac{1}{2}\sqrt{400-x_1^2}+\frac{1}{2\sqrt{400-x_1^2}}(-2x_1^2)=0$
$400-x_1^2-2x_1^2=0$
$400=3x_1^2$
$x_1=\pm\sqrt{\frac{400}{3}}$
$y_2=\pm\sqrt{\frac{800}{3}}$
Jadi koordinat $A$ adalah $(\pm\sqrt{\frac{400}{3}},0)$ dan koordinat $B$ adalah $(0,\pm\sqrt{\frac{800}{3}})$

5) Tentukan nilai setiap limit berikut
a) $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-sin\ x.cos\ x}{tan\ x -x}$
b) $\lim\limits_{x\to\infty} (ln\ x)^{\frac{1}{x}}$

Jawab :
a) Jika saya subs langsung maka akan memperoleh bentuk $\frac{0}{0}$. Langsung tanpa pikir panjang kita gunakan L'hopital
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{x-sin\ x.cos\ x}{tan\ x -x}$
$=\lim\limits_{x\to 0} \frac{1+sin^2\ x-cos^2\ x}{sec^2\ x -1}$
$=\lim\limits_{x\to 0} \frac{2sin^2\ x}{tan^2\ x}$
$=\lim\limits_{x\to 0} 2cos^2\ x$
$=2$
b) Jika saya subs langsung maka akan diperoleh bentuk tak tentu yakni $\infty^0$
Perhatikan bahwa soal ekivalen dengan
$\lim\limits_{x\to\infty} e^{ln(ln\ x)^{\frac{1}{x}}}$
$=\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{ln(ln\ x)}{x}}$
$=\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{1}{xln\ x}}$
$=\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{\frac{1}{x}}{ln\ x}}$
$=\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}}}$
$=\lim\limits_{x\to\infty} e^{-\frac{1}{x}}$
$=e^0=1$