Contoh Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP

Haii Selamat datang di blog ku ini
Pada kesempatan kali ini penulis akan berbagi tentang soal Olimpiade
yaitu tentang Soal dan Pembahasan Olimpiade SMP Matematika bidang Aljabar. 

Soal
1) Jumlah dari dua bilangan adalah -7 dan hasil kali kedua bilangan adalah 2. Carilah :
     a. Jumlah kebalikan masing-masing bilangan,
     b. Jumlah kuadrat kedua bilangan,
     c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan
2) Tuliskan $x^2$ sebagai ekspresi kuadrat dari $(x+3)$.
3) Tuliskan $x^2-3x+8$ sebagai ekspresi kuadrat dari $(x-1)$
4) Jika $a$ dan $b$ memenuhi $a\neq 0, b\neq 0$, dan $\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$, carilah $\left(\frac{a}{b}\right)^2$
5) Berapa hasil bagi $(x^{128}-y^{128})$ dengan $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$?
6) Tuliskan ekspresi $(x^2+x+1)^2$ sebagai penjumlahan tiga bentuk kuadrat.
7) Tentukan bentuk pemfaktoran masing-masing ekspresi aljabar berikut ini.
    a) $(a^2+4a)^2-2(a^2+4a)-15$
    b) $(t^2+3t-3)(t^2+3t-5)-35$
8) Tuliskan dalam bentuk paling sederhana.
   $(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)(m^2+n^2)(m+n)(m-n)$
9) Faktorkan masing-masing ekspresi berikut ini.
   a) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$
   b) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-180$
10) Hitunglah tanpa menggunakan kalkulator tapi dengan operasi aljabar.
  $\sqrt{((10^6)(10^6+1)(10^6+2)(10^6+3)+1}$
11) Hitunglah:
  $\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$
12) Diberikan $x^2-y^2=21$ dan $x-y=3$. Carilah nilai dari $x^5-y^5$.
13) Untuk $p$ dan $r$ bulat positif yang memenuhi kedua ekspresi aljabar
     $p+pr+pr^2=26$ dan $p^2r+p^2r^2+p^2r^3=156$
     Cari nilai $p^r+r^p$
14) Dalam menentukan jawaban perkalian bilangan 1.493 dan 1.507, seorang anak mengurangkan langsung 49 dari 2.250.000. Dia sama sekali tidak mengalikan kedua bilangan tersebut dengan cara panjang. Prinsip metematika yang digunakan oleh adalah
15) Carilah nilai a,b,c, dan d yang memenuhi persamaan berikut
   a. $ax^3-8x^2-29x-b=(2x+1)(x-4)(cx+d)$
   b. $x^3=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d$

Pembahasan
1) Diketahui $x+y=-7$ dan $xy=2$
   a. Jumlah kebalikan masing masing bilangan
      $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{-7}{2}$
   b. Jumlah kuadrat kedua bilangan
      $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(-7)^2-2.2=49-4=45$
   c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan
     $x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=45^2-2.2^2=2025-8=2017$
2) $x^2=x^2+6x+9-6x-9=(x+3)^2-3(2x+3)$
3) $x^2-3x+8=x^2-2x+1-x+7=(x-1)^2-x+7$
4) Perhatikan bahwa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
   Dengan begitu kita punya $\frac{2}{a+b}=\frac{b+a}{ab}$
   $2ab=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
   $a^2+b^2=0$
   $a^2=-b^2$
   $\frac{a^2}{b^2}=-1$
    $\left(\frac{a}{b}\right)^2=-1$
5) Perhatikan bahwa karena $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ maka
$(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^4-y^4)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^8-y^8)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^{16}-y^{16})(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^{32}-y^{32})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
$=(x^{64}-y^{64})(x^{64}+y^{64})$
$=x^{128}-y^{128}$
Sehingga
$x^{128}-y^{128}=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$
Maka hasil bagi $(x^{128}-y^{128})$ dengan $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})(x^{64}+y^{64})$ adalah $x-y$
6) $(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2$
    $(x^2+x+1)^2=(x^2+x)^2+x^2+1+2x+x^2$
    $(x^2+x+1)^2=(x^2+x)^2+(x+1)^2+x^2$
7) a. $(a^2+4a)^2-2(a^2+4a)-15$
            Misalkan $y=a^2+4a$
            $y^2-2y-15$
            $(y-5)(y+3)$
            $(a^2+4a-5)(a^2+4a+3)$
            $(a+5)(a-1)(a+3)(a+1)$
    b. $(t^2+3t-3)(t^2+3t-5)-35$
         Misalkan $y=t^2+3t-4$
         $(y+1)(y-1)-35$
         $y^2-1-35$
         $y^2-6^2$
         $(y+6)(y-6)$
         $(t^2+3t+2)(t^2+3t-10)$
         $(t+2)(t+1)(t+5)(t-2)$
8) $(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)(m^2+n^2)(m+n)(m-n)$
    $(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)(m^2+n^2)(m^2-n^2)$
    $((m^2+n^2)^2-m^2n^2)(m^4-n^4)$
    $(m^4+n^4+m^2n^2)(m^4-n^4)$
    $m^8-n^8+m^6n^2+m^2n^6$
9) a. $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24$
        $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24$
        $(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24-24$
        $(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)$
        $(x^2+5x)(x^2+5x+10)$
        $x(x+5)(x^2+5x+10)$
    b. $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-180$
        $(x^2+6x+5)(x^2+6x+8)-180$
        $(x^2+6x)^2+13(x^2+6x)-140$
        $(x^2+6x+20)(x^2+6x-7)$
        $(x^2+6x+20)(x+7)(x-1)$
10) Perhatikan bahwa $(k-1)k(k+1)(k+2)+1=(k^2-1)(k^2+2k)+1=k^4+2k^3-k^2-2k+1=(k^2+k-1)^2$
Sehingga jika nilai $k=10^6+1$ menjadi
$10^6(10^6+1)(10^6+2)(10^6+3)+1=((10^6+1)^2+10^6+1-1)^2=(10^{12}+3.10^6+1)^2$
 $\sqrt{((10^6)(10^6+1)(10^6+2)(10^6+3)+1}=10^{12}+3.10^6+1=1000003000001$
11) Perhatikan bahwa $x^4+324=x^4+18^2=\left((x-3)^2+9\right)\left((x+3)^2+9\right)$
$\frac{(10^4+324)(22^4+324)(34^4+324)(46^4+324)(58^4+324)}{(4^4+324)(16^4+324)(28^4+324)(40^4+324)(52^4+324)}$
$=\frac{(7^2+9)(13^2+9)(19^2+9)(25^2+9)(31^2+9)(37^2+9)(43^2+9)(49^2+9)(55^2+9)(61^2+9)}{(1^2+9)(7^2+9)(13^2+9)(19^2+9)(25^2+9)(31^2+9)(37^2+9)(43^2+9)(49^2+9)(55^2+9)}$
$=\frac{61^2+9}{1^2+9}$
$=\frac{60^2+2.60+10}{10}$
$=360+12+1$
$=373$
12) Diketahui $x^2-y^2=21$ dan $x-y=3$
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$
$21=(x+y)(3)$
$x+y=7$
$x-y=3$
$2x=10$
$x=5$
$y=2$
$x^5-y^5=5^5-2^5=3125-32=3093$
13) Diketahui $p+pr+pr^2=26$ dan $p^2r+p^2r^2+p^2r^3=156$
$p(1+r+r^2)=26$

Karena $p$ bilangan bulat positif maka nilai $p$ yang mungkin adalah $p=1$ atau $p=2$ atau $p=13$ atau $p=26$

Namun perhatikan juga bahwa

$p^2r(1+r+r^2)=156$
Bagi dengan persamaan sebelumnya diperoleh
$pr=\frac{156}{26}=6$
Nilai $p=1 \text{atau} 2$
Jika $p=1$ maka $r=6$ cek ke persamaan awal, kasus ini tdk memenuhi.
Jika $p=2$ maka $r=3$ cek memenuhi.
Jadi nilai $p^r+r^p=2^3+3^2=8+9=17$
14) Dia mengerjakannya dengan menggunakan manipulasi aljabar dan identitas aljabar yaitu $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Perhatikan bahwa $1493=1500-7$ dan $1507=1500+7$
sehingga $1493\times 1507=(1500-7)(1500+7)=1500^2-7^2=2250000-49$
15)    a. $ax^3-8x^2-29x-b=(2x+1)(x-4)(cx+d)$
           $ax^3-8x^2-29x-b=(2x^2-7x-4)(cx+d)$
           $ax^3-8x^2-29x-b=2cx^3+2dx^2-7cx^2-7dx-4cx-4d$
         Kita lihat koefisien $x^3$
         ruas kiri=ruas kanan
         $a=2c............(1)$
         Kita lihat koefisien $x^2$
         ruas kiri=ruas kanan
         $-8=2d-7c.............(2)$
         Kita lihat koefisien $x$
         ruas kiri=ruas kanan
         $-29=-7d-4c..............(3)$
          Kita lihat konstanta
          ruas kiri=ruas kanan
          $-b=-4d..............(4)$
          7 kali persamaan (2)+2 kali persamaan (3)
          $-56+(-58)=14d-49c+(-14d)-8c$
          $-114=-57c$
          $c=2$
          Persamaan (1) $a=2c$
          $a=4$
          Persamaan (2) $-8=2d-7c$
          $-8=2d-14$
          $2d=6$
          $d=3$
          Persamaan (4) $-b=-4d$
          $-b=-12$
          $b=12$
          $(a,b,c,d)=(4,12,2,3)$
           b. $x^3=a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d$
           Substitusi $x=1$
           $1=d$
           Substitusi $x=2$
           $8=c+d$
           $c=7$
           Substitusi $x=3$
           $27=2b+2c+d$
           $27=2b+14+1$
           $b=6$
           Lihat koefisien $x^3$
           $1=a$
           $(a,b,c,d)=(1,6,7,1)$