Bebas Linier

Hai Semuanya

Pada kesempatan kali ini penulis akan membahas tentang materi aljabar linier yaitu tentang bebas linier.

Definisi : Misal $V$ ruang vektor, $B=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\} \subset V$ , Himpunan $B$ disebut bebas linier jika persamaan vektor $k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_na_n=0$ hanya memiliki satu solusi yaitu ketika $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$. Jika terdapat solusi yang lain maka B tidak bebas linier atau bergantung linier.

Contoh :
Apakah himpunan $M$ berikut bebas linier.
$\left\{m_1=\left[\begin{matrix}2 & 0\\ -1 & 0\end{matrix}\right],m_2=\left[\begin{matrix}0 & 5\\ 2 & 1\end{matrix}\right],m_3=\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 2 & 2\end{matrix}\right]\right\}$
Jawab :
Karena $M\subset M_{2\times 2}$. Maka akan ditunjukkan persamaan vektor yaitu $\textbf{0}=k_1m_1+k_2m_2+k_3m_3$ hanya mempunyai solusi trivial yaitu $k_1=k_2=k_3=0$ untuk $\textbf{0}=\left[\begin{matrix}0 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right]$
Perhatikan bahwa
$\left[\begin{matrix}0 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right]=k_1\left[\begin{matrix}2 & 0\\ -1 & 0\end{matrix}\right]+k_2\left[\begin{matrix}0 & 5\\ 2 & 1\end{matrix}\right]+k_3\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 2 & 2\end{matrix}\right]$
Sehingga diperoleh
$0=2k_1+k_3$

$0=5k_2$
$0=-k_1+2k_2+2k_3$
$0=k_2+2k_3$
sehingga dari persamaan 2 didapat $k_2=0$, dari persamaan 4 diperoleh $k_3=0$, dari persamaan 1 diperoleh $k_1=0$. Sehingga himpunan $M$ bebas linier.